二叉搜尋樹

lijia123發表於2024-11-21

二叉搜尋樹

注意：本文的演算法和程式碼思路大部分來自《演算法導論》

什麼是二叉搜尋樹

二叉搜尋樹首先是一棵二叉樹，此外，它還能用來搜尋。因為它滿足這樣的性質：每個結點的左子樹的結點值都比自身小，而它的右子樹的結點值都比自身大。

它長得像下面這樣：（依據建立時結點插入順序不同，可能是滿二叉，也可能不是）

二叉搜尋樹可以非常方便的用來進行查詢指定元素，查詢最大值和最小值等。

定義資料結構

我們可以用連結串列或者陣列的方式來實現一棵樹。這裡我們採用連結串列的方式。

首先定義節點結構，可以看到，每個結點有一個值，並且有兩個孩子，並且有一個父親。

此外，我們還要額外定義一棵樹的結構，它很簡單，只有一個指向樹根的指標。

//樹結點結構
struct Node {
	int key;
	Node* left;
	Node* right;
	Node* parent;
};

//樹
struct Tree {
	Node* root;
};

二叉樹的遍歷

因為二叉搜尋樹的特殊性質，我們對其進行中序遍歷就可以得到所有元素的一個有序序列。

遍歷既可以用遞迴也可以用迭代的方式去實現，這裡給出遞迴的版本：

//中序遍歷
void inorder_tree_walk(Node* x) {
	if (x != NULL) {
		inorder_tree_walk(x->left);
		cout << x->key << " ";
		inorder_tree_walk(x->right);
	}
}
//前序遍歷
void preorder_tree_walk(Node* x) {
	if (x != NULL) {
		cout << x->key << " ";
		preorder_tree_walk(x->left);
		preorder_tree_walk(x->right);
	}
}
//後續遍歷
void postorder_tree_walk(Node* x) {
	if (x != NULL) {
		postorder_tree_walk(x->left);
		postorder_tree_walk(x->right);
		cout << x->key << " ";
	}
}

遍歷二叉樹的時間複雜度是：O(n)。

如對上圖左邊的那棵樹進行中序遍歷的話，得到的序列就是：2 3 4 5 7 9

查詢指定結點值

如果給出一個關鍵字，想要查詢其是否存在與二叉樹中，如果存在則返回指向它的結點的指標。這個過程可以描述如下：首先把關鍵字和根結點的值做比較，如果相等則返回；否則，如果比根節點值小，那就遞迴的在左子樹中查詢，否則就在右子樹中查詢。

這個過程既可以用遞迴去實現，也可以用迭代去實現，這裡給出兩個版本：

//遞迴版
Node* tree_search(Node* x, int k) {
	//找到或者為空
	if (x == NULL || k == x->key) {
		return x;
	}
	if (k < x->key) {
		return tree_search(x->left, k);
	}
	else {
		return tree_search(x->right, k);
	}
}

//迭代版
Node* iterative_tree_search(Node* x, int k) {
	while (x != NULL && k != x->key) {
		if (k < x->key) {
			x = x->left;
		}
		else {
			x = x->right;
		}
	}
	return x;
}

最大元素和最小元素

根據二叉搜尋樹的性質，左子樹的結點值都比其父節點的小，而右子樹的相反。所以，只要從樹根開始，沿著左孩子進行查詢，直到最後一個左孩子，那它肯定就是最小值。最大值也是類似。

像這裡：

這裡給出迭代方式的實現：

//找最小結點
Node* tree_minimum(Node* x) {
	while (x->left != NULL) {
		x = x->left;
	}
	return x;
}
//找最大結點
Node* tree_maximum(Node* x) {
	while (x->right != NULL) {
		x = x->right;
	}
	return x;
}

前驅和後繼

一個結點的前驅和後繼是什麼呢？它是按照中序遍歷時，排在該結點前和後的第一個結點。

如：上圖的中序遍歷是：2 3 4 5 7 9 ， 那5的前驅就是4，而其後繼就是7。

也就是，前驅是剛好比它小（或者等於）的元素，後繼是剛好比它大（或者等於）的元素。

那要怎麼找呢？

首先看這幅圖：

我們先討論，有左子樹的結點的前驅，和有右子樹的結點的後繼。

首先，有左子樹的結點的前驅。我們知道，一個節點的左子樹的值都比他自身小，所以它的前驅肯定是在左子樹中，而且是左子樹中最大的那一個。比如說，結點6，它的前驅就是左子樹中最大的那個，也就是4。

然後，是有右子樹的結點的後繼。很顯然，它應該是它的右子樹中最小的那。比如說，結點

6，它的後繼就是右子樹中最小的那個，也就是7。

那麼，為什麼有左子樹的前驅一定在左子樹中，而不可能在它的父系結點或其他地方呢？

我們可以這樣考慮，看到結點13，它有一個左子樹，左子樹的結點值都比它小。它有一個父親7，且它是它父親的右孩子，所以父親也比它小。那有沒有可能，父親的某一個取值會使得它是13的前驅呢？答案是不可能的。因為前驅是比它小之中的最大的那個，而如果它有左子樹，那左子樹中的元素因為在它13的父親結點的右子樹中，所以肯定比父親結點7要大，但是卻比13小。

接下來是，沒有左子樹的結點的前驅，和沒有右子樹的結點的後繼。

顯然，沒有左子樹的結點的前驅不可能在左子樹裡找，只能在其他地方找。注意到，前驅和後繼其實是對稱的關係，如果b的前驅是a，那麼a的後繼肯定就是b。所以我們要找到a的後繼，相當於要找到b的前驅。比如說我們要找到結點7的前驅，那如果能找到某個結點，它的後繼是7，那就完事了。因為7沒有左子樹，所以7的前驅肯定在父親結點上面。而因為6的後繼就是7，所以6就是7的前驅（可以這樣驗證，因為6有右子樹，且7是右子樹中最小的那個，所以7是6的後繼）。所以這個前驅節點a滿足這樣一個性質：它肯定在結點b的父系結點上，並且，它是第一個使得b在它的右子樹中的結點。

相應的，沒有右子樹的結點的後繼也是類似求法。

這裡給出實現方法：

//前驅
Node* tree_predecessor(Node* x) {
	//如果左子樹非空，則前驅是左子樹中最大的結點
	if (x->left != NULL) {
		return tree_maximum(x->left);
	}
	//否則，找到父系結點中第一個使得它是其右子孫的結點
	Node* y = x->parent;
	while (y != NULL && y->left == x) {
		x = y;
		y = x->parent;
	}
	return y;
}

//後繼
Node* tree_successor(Node* x) {
	//如果右子樹非空，則後繼是右子樹中的最左結點
	if (x->right != NULL) {
		return tree_minimum(x->right);
	}
	//否則，找到父系結點中第一個使得它是其左子孫的結點
	Node* y = x->parent;
	while (y != NULL && y->right == x) {
		x = y;
		y = x->parent;
	}
	return y;
}

插入

首先，要明確一點，新結點肯定是以葉節點的形式插入的。而我們要找的就是那個能收養它的父結點。

比如說，我們要在這棵樹裡插入結點8：

首先，8和5比較，比5大，在右子樹中查詢。然後和9比較，比9小；最後和7比較，比7大，但因為7已經沒有右子樹了，所以就把8掛在7的右子樹上。

實現如下：

void tree_insert(Tree* T, Node* z) {
	Node* y = NULL;  //用來記住父節點
	Node* x = T->root;   //從根開始查詢
	while (x != NULL) {
		y = x;   //記住要掛留的父節點
		if (z->key < x->key) {   //在左子樹中找
			x = x->left;
		}
		else {
			x = x->right;    //在右子樹中找
		}
	}
	z->parent = y;  //掛上去
	if (y == NULL) {   //如果樹是空的
		T->root = z;
	}
	//父親收養它
	else if (z->key < y->key) {
		y->left = z;
	}
	else {
		y->right = z;
	}
}

刪除

刪除是一件比較麻煩的事。我們分3種大的情況來討論。

  • 如果z沒有孩子結點，那麼只是簡單的把它刪除掉，並且修改它的父節點指向空。

  • 如果z只有一個孩子，那麼將這個孩子提升到樹中z的位置上，並修改z的父節點的孩子指標。

  • 如果z有兩個孩子，那麼找到z的後繼y（在右子樹中），並讓y佔據z的位置。

    這裡有細分為兩種情況：

    • 如果y是z的右孩子，則直接把以y為根的子樹放到z上，在讓z的左子樹成為y的左子樹。

    • 如果y不是z的右孩子，則先用y的右孩子來替換y，在用y替換z。

    為了完成以上工作，額外定義一個函式transplant，它專門用來移植結點。它用一棵以v為根的子樹來替換一棵以u為根的子樹，結點u的雙親變為結點v的雙親，並且最後v成為u的雙親的相應孩子。

    程式碼如下：

    void transplant(Tree* T, Node* u, Node* v) {
	if (u->parent == NULL) {   //如果被替換的是樹根，則要讓其成為樹根
		T->root = v;
	}
	else if (u == u->parent->left) {   //如果被替換的那個結點是其父節點的左孩子
		u->parent->left = v;
	}
	else {                         //否則是右孩子
		u->parent->right = v;
	}
	if (v != NULL) {         //指向父節點
		v->parent = u->parent;
	}
}

void tree_delete(Tree* T, Node* z) {
	//對應第一種和第二種情況
	if (z->left == NULL) {          
		transplant(T, z, z->right);
	}
	else if (z->right == NULL) {     
		transplant(T, z, z->left);
	}
	//對應第三種情況
	else {
		Node* y = tree_minimum(z->right);
		if (y->parent != z) { //如果y不是z的直接右孩子
			transplant(T, y, y->right);
			y->right = z->right;
			y->right->parent = y;
		}
		transplant(T, z, y);
		y->left = z->left;
		y->left->parent = y;
	}
}

參考資料: 《演算法導論》Thomas H. Cormen Charles E.Leiserson && Ronald L.Rivest Clifford Stein 著

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