承接上文，探討kd二叉查詢樹的平衡、刪除改進以及運用。
無論是普通的二叉查詢樹還是kd二叉查詢樹，頻繁的新增以及刪除操作都可能破壞整棵樹的平衡，怎麼辦呢？對於普通的二叉查詢樹，可以通過DSW演算法或者AVL演算法進行平衡，相關內容可以看這裡，資料結構與演算法-二叉查詢樹(DSW)和資料結構與演算法-二叉查詢樹(AVL)。以上演算法的核心都是旋轉，通過旋轉來調整左右子樹的高度來平衡樹，但是旋轉對於kd二叉樹是不合適的，因為kd二叉樹不同層次之間比較的維度是不同的。比如說存在節點P，比較的維度是x吧，那麼節點P的左子樹中任意節點的x維度的值小於P節點x維度值，右子樹中任意節點的x維度的值大於P節點x維度值。如果將P節點調高或者降低層次，那麼P節點和左右子樹比較的維度就會改變，假如是y吧。不能保證節點P的左子樹中任意節點的y維度的值小於P節點y維度值，右子樹中任意節點的y維度的值大於P節點y維度值。所以，旋轉不能用於kd二叉樹。
那麼，該怎麼平衡一顆kd二叉查詢樹呢？
答案是刪除原有的樹，重新建立一顆平衡的kd二叉查詢樹。這種方法非常暴力，如果用於生產環境，必須選擇伺服器壓力較小的一個時間點來重新平衡樹。並且，要控制重新建立kd樹的頻率，這個頻率需要在生產環境中，根據具體的資料量來調整。
接下來探討改進刪除演算法。刪除演算法的效率不高，原因在於需要不停的遍歷被刪除節點下的某顆子樹，不僅耗費時間而且浪費計算資源。怎麼改進呢？
有一種叫做替罪羊的演算法可以用到這裡。就是說，每次刪除節點的時候，不是真正的刪除，而是做個標記表明這個節點已刪除，這樣就不會影響kd樹的平衡。但是被標記的節點太多也不好，怎麼處理呢？可以在每次刪除的時候進行檢查，統計被標記節點在整棵樹中的比例，如果比例大於閾值，就重新平衡樹。刪除掉被標記的節點，使用剩餘節點建立新的平衡的kd二叉樹。由於重新建立kd樹是由某個節點刪除引起的，但是顯然責任不是它一個節點的，它就成了替罪羊，因此，演算法就以此命名了。替罪羊演算法效率還是可以的，犧牲較小的查詢效率來獲取整棵樹的平衡是可取的，生產環境可以考慮使用。
下面來探討kd二叉查詢樹的運用。
- 查詢符合特定範圍的節點
假設我們有一系列點處於k維空間中，現在有個需求，需要知道符合x1<x<xn，y1<y<yn，...，k1<k<kn的節點有哪些。如果沒有kd二叉樹，只能通過遍歷篩選出符合要求的節點，顯然，這種方式效率不高。kd二叉樹可以幫助我們跳過一些節點來提高查詢效率。首先用自然語言描述演算法邏輯：
假設存在節點P，節點P所處層次需要比較維度x，首先判斷x(P)處於x1<x<xn的哪個範圍。如果x1<x(P)<xn，顯然，需要遍歷P節點的所有子樹，如果x(P)<x1，那麼只需要遍歷P節點的右子樹，如果x(P)>xn，那麼只需要遍歷P節點的左子樹即可。
虛擬碼如下：
searchRange(range[][]){
if root != 0
search(root, 0, range);
}
search(p, i, range[][]){
found = true;
for j = 0 到 k - 1
if !(range[j][0] <= p-el.keys[j] <= range[j][1])
found = false;
bread;
if found
輸出 p->el;
if p->left != 0 && range[i][1] <= p->el.keys[i]
search(p->left, (i + 1) mod k, range);
if p->right != 0 && range[i][0] >= p->el.keys[i]
search(p->right, (i + 1) mod k, range);
}複製程式碼使用kd二叉樹查詢特定範圍的節點相比於直接遍歷要快的多。
- 實現kNN演算法
kNN的全稱是k-Nearest-Neighbor，k個最近鄰點。也就是說，假設現在有n個m維空間的點，給定點P，需要找到與定點P最靠近的k個點，這就是kNN演算法。這裡距離的求法用的是歐式距離：
最直觀的演算法邏輯是遍歷n個節點，計算出每個節點與定點P的距離，然後排序，獲取距離最小的k個鄰點。演算法的時間複雜度是0(n)，還可以接受，但是太佔用計算資源了，每兩個節點距離的計算需要n次減法，n次平方，不僅僅佔用大量時間，還會佔用大量計算資源，得不償失。
當前有很多kNN解決方案，我們來探討基於kd二叉樹的kNN方案。
在探討之前，我們需要理解kd二叉樹的幾何意義，就從一維kd二叉樹開始。
當k為1時，kd二叉樹就退化為普通的二叉查詢樹，我們可以將二叉樹上的節點想象成橫座標上的定點。就像這樣：
橫座標被分解成8個部分，如果給出定點P，那麼該定點最終會落入這8個部分之一。
當k為2時，kd二叉樹中的節點可以想象成座標系上的點，就像這樣：
其中每個點都代表著一部分割槽域，首先A節點代表整個矩形，G節點代表被A分開的左邊的矩形，B節點代表被A分開的右邊的矩形，以此類推，每個節點代表著某塊區域的同時將該區域分割成兩部分，分別被左右子樹佔據。
也就是說，如果給出一個定點P，那麼P必然落入以上8個區域之一。
在kd二叉樹上實現kNN演算法之所以效率較高，是因為kd二叉樹可以將k維空間分割成m個區域，給出的查詢定點必然落入某個區域之中，該區域必然被某個節點P的左子樹或者右子樹佔據，假設定點落入了左子樹中，我們可以計算出在該區域中距離定點最近的節點，假設距離為l1。下面是核心邏輯，我們已經獲取了節點P左子樹中距離定點最近的節點，那麼節點P的右子樹有必要遍歷嗎？假設節點P比較的是x維度的值，我們可以計算出定點和x=x(P)超平面之間的距離l2。如果l1<l2，那麼就沒必要遍歷右子樹了，因為定點距離右子樹中節點的距離只會比l2更大，也就是說l1肯定是最小的距離。如果l1>l2，那麼就有必要遍歷右子樹，因為右子樹中可能存在距離定點更近的節點。到目前為止，我們已經獲取了節點P所代表的的子樹中距離定點最近的節點，下一步怎麼走？我們知道，節點P必然是某個節點R的左子樹或者右子樹，假設是左子樹吧，那麼問題來了，節點R的右子樹需要遍歷嗎？這就回到了上面的問題，你會發現，通過不斷回溯父節點，我們可以不斷的跳過某些子樹，最終整棵樹裡的節點全部遍歷完畢。因為kd樹在查詢距離定點最近節點時，可以跳過很多子樹，因此效率會大大提高。
下面用自然語言描述kNN演算法：
- 給出定點P，首先獲取定點P落入了哪塊區域，假設是區域Q吧，計算出定點P和區域Q中節點最小的距離l1
- 回溯到父節點R，計算定點P和節點R之間的距離l2，取l1和l2之間的最小值為新的l1
- 假設節點R比較的是x維度的值，計算定點P和x=x(p)超平面之間的距離l3
- 如果l1<l3，跳過R節點的另一顆子樹，繼續回溯到R節點的父節點，如果R節點為Root，遍歷結束，否則從第二步開始
- 如果l1>l3，遍歷R節點的另一顆子樹，獲取定點和該子樹中節點最小的距離l4
- 取l1和l4之間的最小值為新的l1，當前，R節點所在子樹已經遍歷完畢，那就繼續回溯到R節點的父節點，如果R節點為Root，遍歷結束，否則從第二步開始
演算法中，也許有人會疑惑l4的大小如何獲取，也就是說，不知道如何遍歷R節點的另一顆子樹。答案是使用遞迴，因為R節點的子樹也是一顆kd二叉樹，我們對該子樹使用遞迴即可獲取l4的大小。
到目前為止，我們已經探討了kd二叉樹的平衡，刪除演算法改進，輸出符合特定範圍的節點以及最後的kNN演算法。kd二叉樹還有很多細節需要去理解，這些需要讀者在實踐中獲取了。