【演算法與資料結構 02】二叉樹的引入

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相信大家對於樹都不會太陌生，今天就來簡單聊聊關於資料結構中的樹的那些東西吧~

文章目錄

• 【演算法與資料結構 02】二叉樹的引入
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  • 一、樹的簡單介紹
  • • 1.1 什麼是樹？
    • 1.2 什麼是二叉樹
  • 二、二叉樹的遍歷方式
  • • 2.1 前序遍歷
    • 2.2 中序遍歷
    • 2.3 後序遍歷
    • 2.4 層序遍歷

一、樹的簡單介紹

1.1 什麼是樹？

先來看看百度百科上對樹的解釋

樹狀圖是一種資料結構，它是由n(n >= 1) 個有限結點組成一個具有層次關係的集合

把它叫做 “樹” 是因為它看起來像一顆倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下

它大多長這樣：

再來看看一些結點的稱呼或是概念性的東西

• A 結點是 B 和 C 結點的上級，也就是說 A 結點是 B 和 C 結點的父節點，B 和 C 結點是 A 結點的子結點
• B 和 C 結點同時是 A 結點的子結點，稱為兄弟結點
• A 結點沒有父節點，稱為根節點
• D 、E 和 F 結點沒有子結點，稱為葉子節點
• 樹深即為樹中結點的最大層次數（也稱高度，深度），如圖深度即為 3

可以看出，樹由根結點和若干顆子樹構成，換句話說，剔除一顆樹的根節點後，它的子結構也滿足樹的特性：

• 每個結點有零個或多個結點
• 每個非根結點有且僅有一個父節點
• 樹裡面沒有環路

提到樹就不得不說起二叉樹了

1.2 什麼是二叉樹

二叉樹：每個結點最多含有兩個結點的樹，兩個結點分別為左子結點和右子結點

來看看一個二叉樹的簡單實現

public class TreeNode {
	int val;
	TreeNode left;
	TreeNode right;
	TreeNode() {}
	TreeNode(int val) { this.val = val; }
	TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
		this.val = val;
		this.left = left;
		this.right = right;
	}
}

二叉樹當中也有幾種特殊的型別：

• 滿二叉樹：所有結點都有兩個子結點（當然除開最後一層的葉子結點）

• 完全二叉樹：除最後一層結點個數都達到最大，並且最後一層的葉子結點都往左排列
  
  （從定義可以發現，一個滿二叉樹一定是完全二叉樹）

之所以會稱為完全二叉樹，是從它儲存空間利用率來看的

比如上面的完全二叉樹：

0	1	2	3	4	5	6	7	8
	A	B	C	D	E	F	G	H

如果這裡是一顆非完全二叉樹，則會浪費比較多的儲存空間：

0	1	2	3	4	5	6	7
	A	B	C	D	E		F
8	9	10	11	12	13	14	15
G						H	I

• 二叉搜尋樹：滿足下列約束條件：

  1. 若左子樹不為空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根節點的值
  2. 若右子樹不為空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根節點的值
  3. 左、右子樹也必須是二叉搜尋樹

二叉查詢樹中，會盡可能避免兩個結點數值相等的情況

二叉查詢樹也有幾種優化，例如 AVL 樹、紅黑樹、哈夫曼樹 … 之後再做介紹

二、二叉樹的遍歷方式

二叉樹的遍歷是指從根結點觸發，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結點，使得每個結點被訪問且僅被訪問一次

二叉樹的遍歷方式大體上有四種經典方式：前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷、層序遍歷

其中前序、中序和後序遍歷本質上可以認為是深度優先遍歷（DFS），而二叉樹的層序遍歷本質上可以認為是廣度優先遍歷（BFS），這裡不作詳細介紹，想了解的朋友可以期待下一篇文章哦~

DFS 簡單來說就是對每一個可能的分支路徑深入到最底的遍歷方式；而 BFS 簡單來說就是一層一層由內而外的遍歷方式

• 前序遍歷：對於樹中的任意結點，先列印這個結點，然後前序遍歷它的左子樹，最後前序遍歷它的右子樹

• 中序遍歷：對於樹中的任意結點，先中序遍歷它的左子樹，然後列印這個結點，最後中序遍歷它的右子樹

• 後序遍歷：對於樹中的任意結點，先後序遍歷它的左子樹，然後 後序遍歷它的右子樹，最後列印這個結點

  （也就是說，這裡的序指的是父節點的遍歷順序）

實現前序、中序和後序遍歷普遍用的還是遞迴，個人覺得遞迴相比非遞迴的方法更妙一些~
下面貼出程式碼片段方便大家理解

其實這三種遍歷方式有很大的相同之處，正如它們的定義一般

2.1 前序遍歷

public static void preOrderTraversal(TreeNode head) {
    if (head == null) {
        return;
    }
    System.out.print(head.val + " ");
    preOrderTraversal(head.left);
    preOrderTraversal(head.right);
}

2.2 中序遍歷

public static void inOrderTraversal(TreeNode head) {
    if (head == null) {
        return;
    }
    inOrderTraversal(head.left);
    System.out.print(head.val + " ");
    inOrderTraversal(head.right);
}

這裡額外提一下二叉查詢樹的中序遍歷：

對二叉查詢樹進行中序遍歷，就可以輸出一個按數值從小到大的有序資料佇列（這裡就直接拿上面的圖吧，偷懶~）

比如這裡就會列印出：9、13、15、16、18、21、23、25

2.3 後序遍歷

public static void postOrderTraversal(TreeNode head) {
    if (head == null) {
        return;
    }
    postOrderTraversal(head.left);
    postOrderTraversal(head.right);
    System.out.print(head.val + " ");
}

2.4 層序遍歷

層序遍歷就像上面所提到的那樣，即逐層的、從左到右訪問所有結點

層序遍歷的實現可以使用佇列的特性，把每個還沒有訪問到的結點依次放入佇列，然後再彈出佇列的頭部元素當作是當前的結點：

public static void levelOrder(TreeNode head){
	LinkedList<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
	queue.offer(head);
	while (!queue.isEmpty()){
		TreeNode cur = queue.poll();
		System.out.print(cur.val + " ");
		if(cur.left != null) queue.add(cur.left);
		if(cur.right != null) queue.add(cur.right);
	}
}

使用佇列儲存每層的所有結點，每次把佇列裡原先的所有結點進行出佇列操作，再把每個元素的非空左右子節點入隊，即可得到每層的遍歷

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時隔五個月左右自己又有了寫部落格的想法，希望自己能一直堅持下去，另外，朋友們的點贊和關注是對我最大的支援 ?