【資料結構與演算法】手撕二叉查詢樹

二叉查詢樹

定義

• 二叉查詢樹（亦稱二叉搜尋樹、二叉排序樹）是一棵二叉樹，且各結點關鍵詞互異，其中根序列按其關鍵詞遞增排列。

• 等價描述：二叉查詢樹中任一結點 P，其左子樹中結點的關鍵詞都小於 P 的關鍵詞，右子樹中結點的關鍵詞都大於 P 的關鍵詞，且結點 P 的左右子樹也都是二叉查詢樹

節點結構

1️⃣ key：關鍵字的值
2️⃣ value：關鍵字的儲存資訊
3️⃣ left：左節點的引用
4️⃣ right：右節點的引用

class BSTNode<K extends Comparable<K>,V>{
    public K key;
    public V value;

    public BSTNode<K,V> left;
    public BSTNode<K,V> right;
}

為了程式碼簡潔，本文不考慮屬性的封裝，一律設為 public

查詢演算法

思想：利用二叉查詢樹的特性，左子樹值小於根節點值，右子樹值大於根節點值，從根節點開始搜尋

• 如果目標值等於某節點值，返回該節點
• 如果目標值小於某節點值，搜尋該節點的左子樹
• 如果目標值大於某節點值，搜尋該節點的右子樹

1️⃣ 遞迴版本

    public BSTNode<K, V> searchByRecursion(K key) {
        return searchByRecursion(root, key);
    }

    private BSTNode<K, V> searchByRecursion(BSTNode<K, V> t, K key) {
        if (t == null || t.key == key) return t;
        else if (key.compareTo(t.key) < 0) return searchByRecursion(t.left, key);
        else return searchByRecursion(t.right, key);
    }

2️⃣ 迭代版本

    public BSTNode<K,V> searchByIteration(K key) {
        BSTNode<K,V> p = this.root;
        while(p != null) {
            if(key.compareTo(p.key) < 0) p = p.left;
            else if(key.compareTo(p.key) > 0) p = p.right;
            else return p;
        }
        return null;
    }

插入演算法

• 在以 t 為根的二叉查詢樹中插入關鍵詞為 key 的結點
• 在 t 中查詢 key，在查詢失敗處插入

1️⃣ 遞迴版本

public void insertByRecursion(K key, V value) {
        this.root = insertByRecursion(root, key, value);
    }

    private BSTNode<K, V> insertByRecursion(BSTNode<K, V> t, K key, V value) {
        if (t == null) {
            return new BSTNode<>(key, value);
        } 
        else if (key.compareTo(t.key) < 0) t.left = insertByRecursion(t.left, key, value);
        else if (key.compareTo(t.key) > 0) t.right = insertByRecursion(t.right, key, value);
        else {
            t.value = value;  // 如果二叉查詢樹中已經存在關鍵字，則替換該結點的值
        }
        return t;
    }

2️⃣ 迭代版本

    public void insertByIteration(K key, V value) {
        BSTNode<K, V> p = root;
        if (p == null) {
            root = new BSTNode<>(key, value);
            return;
        }
        BSTNode<K, V> pre = null;
        while (p != null) {
            pre = p;
            if (key.compareTo(p.key) < 0) p = p.left;
            else if (key.compareTo(p.key) > 0) p = p.right;
            else {
                p.value = value;    // 如果二叉查詢樹中已經存在關鍵字，則替換該結點的值
                return;
            }
        }
        if(key.compareTo(pre.key) < 0) {
            pre.left = new BSTNode<>(key, value);
        } else {
            pre.right = new BSTNode<>(key, value);
        }
    }

刪除演算法

• 在以 t 為根的二叉查詢樹中刪除關鍵詞值為 key 的結點

• 在 t 中找到關鍵詞為 key 的結點，分三種情況刪除 key

  • 若 key 是葉子節點，則直接刪除
    

  • 若 key 只有一棵子樹，則子承父業
    

  • 若 key 既有左子樹也有右子樹，則找到 key 的後繼結點，替換 key 和後繼節點的值，然後刪除後繼節點（後繼節點只有一棵子樹，轉化為第二種情況）。
    後繼結點是當前結點的右子樹的最左結點，如果右子樹沒有左子樹，則後繼節點就是右子樹的根節點。
    
    

    public void removeByRecursion(K key) {
        this.root = removeByRecursion(root, key);
    }
    private BSTNode<K, V> removeByRecursion(BSTNode<K, V> t, K key) {
        if(t == null) return root;
        else if(t.key.compareTo(key) < 0) t.right = removeByRecursion(t.right, key); // key大，遞迴處理右子樹
        else if(t.key.compareTo(key) > 0) t.left = removeByRecursion(t.left, key);   // key小，遞迴處理左子樹
        else {
            if(t.right == null) return t.left;  // 情況一、二一起處理
            if(t.left == null) return t.right;  // 情況一、二一起處理
            BSTNode<K, V> node = t.right;       // 情況三：右子樹沒有左子樹
            if (node.left == null) {
                node.left = t.left;
            } else {                            // 情況三：右子樹有左子樹
                BSTNode<K, V> pre = null;
                while (node.left != null) {
                    pre = node;
                    node = node.left;
                }
                t.key = node.key;
                t.value = node.value;
                pre.left = node.right;
            }
        }
        return t;
    }

完整程式碼

class BSTNode<K extends Comparable<K>, V> {
    public K key;
    public V value;

    public BSTNode<K, V> left;
    public BSTNode<K, V> right;

    public BSTNode(K key, V value) {
        this.key = key;
        this.value = value;
    }
}

class BSTree<K extends Comparable<K>, V> {
    public BSTNode<K, V> root;

    private void inorder(BSTNode<K, V> root) {
        if (root != null) {
            inorder(root.left);
            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + ") ");
            inorder(root.right);
        }
    }

    private void preorder(BSTNode<K, V> root) {
        if (root != null) {
            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + ") ");
            preorder(root.left);
            preorder(root.right);
        }
    }

    private void postorder(BSTNode<K, V> root) {
        if (root != null) {
            postorder(root.left);
            postorder(root.right);
            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + ") ");
        }
    }

    public void postorderTraverse() {
        System.out.print("後序遍歷：");
        postorder(root);
        System.out.println();
    }

    public void preorderTraverse() {
        System.out.print("先序遍歷：");
        preorder(root);
        System.out.println();
    }

    public void inorderTraverse() {
        System.out.print("中序遍歷：");
        inorder(root);
        System.out.println();
    }

    public BSTNode<K, V> searchByRecursion(K key) {
        return searchByRecursion(root, key);
    }

    private BSTNode<K, V> searchByRecursion(BSTNode<K, V> t, K key) {
        if (t == null || t.key == key) return t;
        else if (key.compareTo(t.key) < 0) return searchByRecursion(t.left, key);
        else return searchByRecursion(t.right, key);
    }

    public BSTNode<K, V> searchByIteration(K key) {
        BSTNode<K, V> p = this.root;
        while (p != null) {
            if (key.compareTo(p.key) < 0) p = p.left;
            else if (key.compareTo(p.key) > 0) p = p.right;
            else return p;
        }
        return null;
    }

    public void insertByRecursion(K key, V value) {
        this.root = insertByRecursion(root, key, value);
    }

    private BSTNode<K, V> insertByRecursion(BSTNode<K, V> t, K key, V value) {
        if (t == null) {
            return new BSTNode<>(key, value);
        } else if (key.compareTo(t.key) < 0) t.left = insertByRecursion(t.left, key, value);
        else if (key.compareTo(t.key) > 0) t.right = insertByRecursion(t.right, key, value);
        else {
            t.value = value;
        }
        return t;
    }

    public void insertByIteration(K key, V value) {
        BSTNode<K, V> p = root;
        if (p == null) {
            root = new BSTNode<>(key, value);
            return;
        }
        BSTNode<K, V> pre = null;
        while (p != null) {
            pre = p;
            if (key.compareTo(p.key) < 0) p = p.left;
            else if (key.compareTo(p.key) > 0) p = p.right;
            else {
                p.value = value;    // 如果二叉查詢樹中已經存在關鍵字，則替換該結點的值
                return;
            }
        }
        if (key.compareTo(pre.key) < 0) {
            pre.left = new BSTNode<>(key, value);
        } else {
            pre.right = new BSTNode<>(key, value);
        }
    }

    public void removeByRecursion(K key) {
        this.root = removeByRecursion(root, key);
    }
    private BSTNode<K, V> removeByRecursion(BSTNode<K, V> t, K key) {
        if(t == null) return root;
        else if(t.key.compareTo(key) < 0) t.right = removeByRecursion(t.right, key); // key大，遞迴處理右子樹
        else if(t.key.compareTo(key) > 0) t.left = removeByRecursion(t.left, key);   // key小，遞迴處理左子樹
        else {
            if(t.right == null) return t.left;  // 情況一、二一起處理
            if(t.left == null) return t.right;  // 情況一、二一起處理
            BSTNode<K, V> node = t.right;       // 情況三：右子樹沒有左子樹
            if (node.left == null) {
                node.left = t.left;
            } else {                            // 情況三：右子樹有左子樹
                BSTNode<K, V> pre = null;
                while (node.left != null) {
                    pre = node;
                    node = node.left;
                }
                t.key = node.key;
                t.value = node.value;
                pre.left = node.right;
            }
        }
        return t;
    }
}

? 方法測試：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        BSTree<Integer, Integer> tree = new BSTree<>();
//        tree.insertByRecursion(1, 1);
//        tree.insertByRecursion(5, 1);
//        tree.insertByRecursion(2, 1);
//        tree.insertByRecursion(4, 1);
//        tree.insertByRecursion(3, 1);
//        tree.insertByRecursion(1, 2);
        tree.insertByIteration(1, 1);
        tree.insertByIteration(5, 1);
        tree.insertByIteration(2, 1);
        tree.insertByIteration(4, 1);
        tree.insertByIteration(3, 1);
        tree.insertByIteration(1, 5);
        tree.removeByRecursion(4);
        tree.inorderTraverse();
        tree.postorderTraverse();
        tree.preorderTraverse();
        BSTNode<Integer, Integer> node = tree.searchByIteration(1);
        System.out.println(node.key + " " + node.value);
    }
}

中序遍歷：(key: 1 , value: 5) (key: 2 , value: 1) (key: 3 , value: 1) (key: 5 , value: 1) 
後序遍歷：(key: 3 , value: 1) (key: 2 , value: 1) (key: 5 , value: 1) (key: 1 , value: 5) 
先序遍歷：(key: 1 , value: 5) (key: 5 , value: 1) (key: 2 , value: 1) (key: 3 , value: 1) 
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