結構與演算法(05)：二叉樹與多叉樹

知了一笑發表於2020-09-23
演算法二叉樹

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一、樹狀結構

1、陣列與連結串列

陣列結構

陣列儲存是通過下標方式訪問元素，查詢速度快，如果陣列元素是有序的，還可使用二分查詢提高檢索速度；如果新增新元素可能會導致多個下標移動，效率較低；

連結串列結構

連結串列儲存元素，對於元素新增和刪除效率高，但是遍歷元素每次都需要從頭結點開始，效率特別低；

樹形結構能同時相對提高資料儲存和讀取的效率。

2、樹結構概念

  • 根節點：樹的根源，沒有父節點的節點，如上圖A節點；
  • 兄弟節點：擁有同一父節點的子節點。如圖B與C點；
  • 葉子節點：沒有子節點的節點。如圖DEFG節點；
  • 樹的高度：最大層數，如圖為3層；
  • 路徑：從root根節點找到指定節點的路線；

樹形結構是一層次的巢狀結構。一個樹形結構的外層和內層有相似的結構，所以這種結構多可以遞迴的表示。經典資料結構中的各種樹狀圖是一種典型的樹形結構：一顆樹可以簡單的表示為根， 左子樹， 右子樹。 左子樹和右子樹又有自己的子樹。

二、二叉樹模型

樹的種類有很多，二叉樹（BinaryTree）是樹形結構的一個重要型別，每個節點最多隻能有兩個子節點的一種形式稱為二叉樹，二叉樹的子節點分為左節點和右節點，許多實際問題抽象出來的資料結構往往是二叉樹形式。

完全二叉樹

二叉樹的所有葉子節點都在最後一層或者倒數第二層，而且最後一層的葉子節點在左邊連續，倒數第二 層的葉子節點在右邊連續，我們稱為完全二叉樹

滿二叉樹

當二叉樹的所有葉子節點都在最後一層，並且結點總數= 2^n -1 , n 為層數，則稱為滿二叉樹。

平衡二叉樹

平衡二叉樹指的是，任意節點的子樹的高度差的絕對值都小於等於1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹，常見的符合平衡樹的有，B樹（多路平衡搜尋樹）、AVL樹（二叉平衡搜尋樹）等。

二叉查詢樹

二叉查詢樹（BinarySearchTree）不但二叉樹，同時滿足一定的有序性：節點的左子節點比自己小，節點的右子節點比自己大。

三、二叉樹編碼

1、基礎程式碼

節點程式碼

class TreeNode {
    private String num ;
    private TreeNode leftNode ;
    private TreeNode rightNode ;
    public TreeNode(String num) {
        this.num = num;
    }
    @Override
    public String toString() {
        return "TreeNode{num=" + num +'}';
    }
}

樹結構程式碼

class BinaryTree01 {
    private TreeNode root ;
}

2、遍歷與查詢

前序遍歷查詢

先處理當前結點的資料，再依次遞迴遍歷左子樹和右子樹；

public void prevTraverse() {
    // 輸出父結點
    System.out.println(this);
    // 向左子樹遞迴前序遍歷
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.prevTraverse();
    }
    // 向右子樹遞迴前序遍歷
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.prevTraverse();
    }
}
public TreeNode prevSearch(String num) {
    //比較當前結點
    if(this.num.equals(num)) {
        return this ;
    }
    // 遞迴遍歷左子樹查詢
    TreeNode findNode = null;
    if(this.leftNode != null) {
        findNode = this.leftNode.prevSearch(num);
    }
    // 左子樹遍歷命中
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 遞迴遍歷右子樹查詢
    if(this.rightNode != null) {
        findNode = this.rightNode.prevSearch(num);
    }
    return findNode ;
}

中序遍歷查詢

先遞迴遍歷左子樹，再處理父節點，再遞迴遍歷右子樹；

public void midTraverse() {
    // 向左子樹遞迴中序遍歷
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.midTraverse();
    }
    // 輸出父結點
    System.out.println(this);
    // 向右子樹遞迴中序遍歷
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.midTraverse();
    }
}
public TreeNode midSearch(String num) {
    // 遞迴遍歷左子樹查詢
    TreeNode findNode = null;
    if(this.leftNode != null) {
        findNode = this.leftNode.midSearch(num);
    }
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 比較當前結點
    if(this.num.equals(num)) {
        return this ;
    }
    // 遞迴遍歷右子樹查詢
    if(this.rightNode != null) {
        findNode = this.rightNode.midSearch(num);
    }
    return findNode ;
}

後序遍歷查詢

先遞迴遍歷左子樹，再遞迴遍歷右子樹，最後處理父節點；

public void lastTraverse() {
    // 向左子樹遞迴後序遍歷
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.lastTraverse();
    }
    // 向右子樹遞迴後序遍歷
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.lastTraverse();
    }
    // 輸出父結點
    System.out.println(this);
}
public TreeNode lastSearch(String num) {
    // 遞迴遍歷左子樹查詢
    TreeNode findNode = null;
    if(this.leftNode != null) {
        findNode = this.leftNode.lastSearch(num);
    }
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 遞迴遍歷右子樹查詢
    if(this.rightNode != null) {
        findNode = this.rightNode.lastSearch(num);
    }
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 比較當前結點
    if(this.num.equals(num)) {
        return this ;
    }
    return null ;
}

3、刪除節點

如果當前刪除的節點是葉子節點，則可以直接刪除該節點；如果刪除的節點是非葉子節點，則刪除該節點樹。

public void deleteNode(String num) {
    // 判斷左節點是否刪除
    if(this.leftNode != null && this.leftNode.num.equals(num)) {
        this.leftNode = null ;
        return ;
    }
    // 判斷右節點是否刪除
    if(this.rightNode != null && this.rightNode.num.equals(num)) {
        this.rightNode = null;
        return ;
    }
    // 向左子樹遍歷進行遞迴刪除
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.deleteNode(num);
    }
    // 向右子樹遍歷進行遞迴刪除
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.deleteNode(num);
    }
}

四、多叉樹

多叉樹是指一個父節點可以有多個子節點，但是一個子節點依舊遵循一個父節點定律，通常情況下，二叉樹的實際應用高度太高，可以通過多叉樹來簡化對資料關係的描述。

例如：Linux檔案系統，組織架構關係，角色選單許可權管理系統等，通常都基於多叉樹來描述。

五、原始碼地址

GitHub·地址
https://github.com/cicadasmile/model-arithmetic-parent
GitEE·地址
https://gitee.com/cicadasmile/model-arithmetic-parent

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