前言
推出一個新系列，《看圖輕鬆理解資料結構和演算法》，主要使用圖片來描述常見的資料結構和演算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各種堆、各種佇列、各種列表、各種樹、各種圖、各種排序等等幾十篇的樣子。
AVL樹
AVL樹，也稱平衡二叉搜尋樹，AVL是其發明者姓名簡寫。AVL樹屬於樹的一種，而且它也是一棵二叉搜尋樹，不同的是他通過一定機制能保證二叉搜尋樹的平衡，平衡的二叉搜尋樹的查詢效率更高。
AVL樹特點
- AVL樹是一棵二叉搜尋樹。
- AVL樹的左右子節點也是AVL樹。
- AVL樹擁有二叉搜尋樹的所有基本特點。
- 每個節點的左右子節點的高度之差的絕對值最多為1，即平衡因子為範圍為[-1,1]。
圖中紅色數字表示對應節點的高度，可以看到同一層的節點高度差都沒有超過1。
二叉搜尋樹的平衡
基礎的二叉搜尋樹構建出來可能會存在不平衡的現象，比如極端情況下，按照A B C D E F G H順序插入樹中，結果為，
但實際上我們更想要平衡一點的二叉搜尋樹，因為平衡的二叉搜尋樹能有效提高查詢效率，比如上面的要查詢“H”節點則需要比較8個節點才找到，而平衡的二叉搜尋樹只需要比較3個節點。
所以AVL樹的出現就是為了解決平衡性問題，它的核心內容就是平衡處理機制，即所謂的旋轉，一共有四種形式的旋轉：右單旋、左單旋、左右雙旋和右左雙旋。
為什麼要旋轉
不管是什麼方式的旋轉，旋轉的目的是為了降低樹的高度，使其平衡，假如樹結構如下圖，
將“A”節點新增到樹中，變成如下結構，樹產生了不平衡，於是檢查哪裡不平衡，當到“C”節點時發現高度差超過1，
所以需要對“C”節點進行右單旋操作將高度降到2，達到平衡。
插入方式
AVL樹一共有四種插入方式，根據插入方式不同需要做不同的旋轉操作，現在往下看四種插入方式，設受插入節點影響而失去平衡的節點的父節點為Z，
- LL插入方式，插入的節點在Z節點的左子樹的左子樹上，如下圖，“A”節點插入影響“C”節點的平衡，“C”的父節點為“E”，插入節點“A”在“E”節點的左子樹的左子樹上。即“B”節點的左右子節點都算LL插入。
- RR插入方式，插入的節點在Z節點的右子樹的右子樹上，如下圖，“I”節點插入影響“G”節點的平衡，“G”的父節點為“E”，插入節點“I”在“E”節點的右子樹的右子樹上。即“H”節點的左右子節點都算RR插入。
- LR插入方式，插入的節點在Z節點的左子樹的右子樹上，如下圖，“C”節點插入影響“B”節點的平衡，“B”的父節點為“E”，插入節點“C”在“E”節點的左子樹的右子樹上。即“D”節點的左右子節點都算LR插入。
- RL插入方式，插入的節點在Z節點的右子樹的左子樹上，如下圖，“G”節點插入影響“H”節點的平衡，“H”的父節點為“E”，插入節點“G”在“E”節點的右子樹的左子樹上。即“F”節點的左右子節點都算RL插入。
右單旋
右單旋用於處理LL插入方式，假設存在一棵樹，如下，
現插入“A”節點，假如不進行旋轉的話，樹結構為下圖，所以遍歷過程也會檢查哪裡不平衡，檢查到“C”節點和“G”節點的高度差大於1，而且插入節點“A”屬於“E”節點左子樹的左子樹，於是進行右單旋，
“C”節點右單旋即將“C”節點提高，原本它的父節點“E”則變為其右子節點，“C”節點原來的右子節點則變為其父節點“E”的左子節點。右單旋後的結果如下，重新達到了平衡。
左單旋
左單旋用於處理RR插入方式，假設存在一棵樹，如下，
現插入“I”節點，假如不進行旋轉的話，樹結構為下圖，所以遍歷過程也會檢查哪裡不平衡，檢查到“C”節點和“G”節點的高度差大於1，而且插入節點“I”屬於“E”節點的右子樹的右子樹，於是進行左單旋，
“G”節點左單旋即將“G”節點提高，原本它的父節點“E”則變為其左子節點，“G”節點原來的左子節點則變為其父節點“E”的右子節點。左單旋後的結果如下，重新達到了平衡。
左右雙旋
左右雙旋用於處理LR插入方式，假設存在一棵樹，如下，
現插入“C”節點，假如不進行旋轉的話，樹結構為下圖，遍歷過程會檢查哪裡不平衡，檢查到“B”節點和“G”節點的高度差大於1，而且插入節點“C”屬於“E”節點的左子樹的右子樹，於是進行左右雙旋，
先以“D”節點為軸進行左單旋，結果為，
再以“D”節點為軸進行右單旋，得到最終結果，
右左雙旋
右左雙旋用於處理RL插入方式，假設存在一棵樹，如下，
現插入“G”節點，假如不進行旋轉的話，樹結構為下圖，遍歷過程會檢查哪裡不平衡，檢查到“C”節點和“H”節點的高度差大於1，而且插入節點“G”屬於“E”節點的右子樹的左子樹，於是進行右左雙旋，
先以“F”節點為軸進行右單旋，結果為，
再以“F”節點為軸進行左單旋，得到最終結果，
插入
空樹時插入節點“E”直接作為根節點，“E”節點高度設為1，
繼續插入“B”節點，小於“E”節點則新增到左邊，且“E”節點高度加1，
繼續插入“G”節點，大於“E”節點則新增到右邊，此時“E”節點高度不變，
繼續插入“D”節點，最終到“B”節點的右子節點，此時“B”節點高度加1，“E”節點高度也加1，
繼續插入“C”節點，最終到“D”節點的左子節點，此時“D”、“B”、“E”節點高度都分別加1，並且先發現節點“D”與它同級節點（不存在即高度為0）高度差大於1，並且屬於RL插入方式，使用右左雙旋處理，
以“C”節點為軸進行右單旋，結果為，
再以“C”節點為軸進行左單旋，結果如下，可以看到進過右左雙旋操作後二叉樹已經達到平衡了。
總結，插入時可能會遇到四種不同的插入方式，分別是：LL插入方式、RR插入方式、LR和RL插入方式。根據不同的插入方式對應做旋轉操作即能使樹達到平衡狀態。
查詢
AVL樹因為屬於二叉搜尋樹，所以查詢時與BST樹完全一樣，比如下面這棵樹，查詢“D”節點，
從根節點“C”開始，
“D”大於“C”，所以往右繼續查詢，
“D”小於“E”，所以往左查詢，找到。
刪除
刪除操作主要分兩種情況，一種是刪除後不會影響平衡，那麼直接按照BST樹規則刪除。另外一種是刪除後會影響樹的平衡，那麼則需要再做旋轉處理。
情況一
如樹的結構，要刪除“B”節點，
直接找到“B”節點，且因為是葉子節點，直接刪掉即可。
最終為，
但如果刪除的不是“B”節點，而是“C”節點，則不能直接刪除“C”節點，
應該先找到“C”節點的前驅，它的前驅為“B”節點，使用“B”替換“C”節點，
最後將原來的“B”節點刪除。
情況二
如樹的結構，要刪除“F”節點，
先找到“F”節點，
然後將“F”節點刪除，此時導致了“C”節點和“G”節點的高度差超過1，需要做旋轉操作，
而且因為C節點的左子節點高度比右子節點高度大，所以執行右單旋操作，旋轉後為，
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