前言
推出一個新系列，《看圖輕鬆理解資料結構和演算法》，主要使用圖片來描述常見的資料結構和演算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各種堆、各種佇列、各種列表、各種樹、各種圖、各種排序等等幾十篇的樣子。
B+樹
B+樹是B樹的一種變體，也屬於平衡多路查詢樹，大體結構與B樹相同，包含根節點、內部節點和葉子節點。多用於資料庫和作業系統的檔案系統中，由於B+樹內部節點不儲存資料，所以能在記憶體中存放更多索引，增加快取命中率。另外因為葉子節點相連遍歷操作很方便，而且資料也具有順序性，便於區間查詢。
B+樹特點
- B+樹可以定義一個m值作為預定範圍，即m路(階)B+樹。
- 根節點可能是葉子節點，也可能是包含兩個或兩個以上子節點的節點。
- 內部節點如果擁有k個關鍵字則有k+1個子節點。
- 非葉子節點不儲存資料，只儲存關鍵字用作索引，所有資料都儲存在葉子節點中。
- 非葉子節點有若干子樹指標，如果非葉子節點關鍵字為
k1,k2,...kn，其中n=m-1，那麼第一個子樹關鍵字判斷條件為小於k1，第二個為大於等於k1而小於k2，以此類推，最後一個為大於等於kn，總共可以劃分出m個區間，即可以有m個分支。（判斷條件其實沒有嚴格的要求，只要能實現對B+樹的資料進行定位劃分即可，有些實現使用了m個關鍵字來劃分割槽間，也是可以的） - 所有葉子節點通過指標鏈相連，且葉子節點本身按關鍵字的大小從小到大順序排列。
- 自然插入而不進行刪除操作時，葉子節點項的個數範圍為[floor(m/2),m-1]，內部節點項的個數範圍為[ceil(m/2)-1,m-1]。
- 另外通常B+樹有兩個頭指標，一個指向根節點一個指向關鍵字最小的葉子節點。
- 在進行刪除操作時，涉及到索引節點填充因子和葉子節點填充因子，一般可設葉子節點和索引節點的填充因子都不少於50%。
以下是一棵4階B+樹，
插入操作
假設現在構建一棵四階B+樹，開始插入“A”，直接作為根節點，
插入“B”，大於“A”，放右邊，
插入“C”，按順序排到最後，
繼續插入“D”，直接新增的結果如下圖，此時超過了節點可以存放容量，對於四階B+樹每個節點最多存放3個項，此時需要執行分裂操作，
分裂操作為，先選取待分裂節點中間位置的項，這裡選“C”，然後將“C”項放到父節點中，因為這裡還沒有父節點，那麼直接建立一個新的父節點存放“C”，而原來小於“C”的那些項作為左子樹，原來大於等於“C”的那些項作為右子樹。這裡注意下非葉子節點存放的都是關鍵字，用作索引的，所以父節點存放的“C”項不包括資料，資料仍然存放在右子樹。此外，還需要新增一個指標，由左子樹指向右子樹。
繼續插入“M”，“M”大於“C”，往右子節點，
分別與“C”“D”比較，大於它們，放到最右邊，
插入“L”，“L”大於“B”，往右子樹，
“L”逐一與節點內項的值比較，根據大小放到指定位置，此時觸發分裂操作，
選取待分裂節點中間位置的項“L”，然後將“L”項放到父節點中，按大小順序將“L”放到指定位置，而原來小於“L”的那些項作為左子樹，原來大於等於“L”的那些項作為右子樹。父節點存放的“L”項不包括資料，資料仍然存放在右子樹。此外，還需要在左子樹中新增一個指向右子樹的指標。
繼續插入“K”，從根節點開始查詢，逐一比較關鍵字，“K”大於“C”而小於“L”，往第二個分支，
在子節點中逐一比較，“K”最終落在最右邊，
繼續插入“J”，從根節點開始查詢，逐一比較關鍵字，“J”大於“C”而小於“L”，往第二個分支，
在子節點中找到“J”的相應位置，此時超過了節點的容量，需要進行分裂操作，
選取待分裂節點中間位置的項“J”，然後將“J”項放到父節點中，按大小順序將“J”放到指定位置，而原來小於“J”的那些項作為左子樹，原來大於等於“J”的那些項作為右子樹。父節點存放的“J”項不包括資料，資料仍然存放在右子樹。此外，還需要在左子樹中新增一個指向右子樹的指標。
繼續插入“I”，從根節點開始查詢，逐一比較關鍵字，“I”大於“C”而小於“J”“L”，往第二個分支，
逐一比較找到“I”的插入位置，
繼續插入“H”，從根節點開始查詢，逐一比較關鍵字，“H”大於“C”而小於“J”“L”，往第二個分支，
“H”逐一與節點內的值比較，根據大小放到指定位置，此時觸發分裂操作，
選取待分裂節點中間位置的項“H”，然後將“H”項放到父節點中，按大小順序將“H”放到指定位置，而原來小於“H”的那些項作為左子樹，原來大於等於“H”的那些項作為右子樹。父節點存放的“H”項不包括資料，資料仍然存放在右子樹。此外，還需要在左子樹中新增一個指向右子樹的指標。
但此時父節點超出了容量，父節點需要繼續分裂操作，
選取待分裂節點中間位置的項“J”，然後將“J”項放到父節點中，但還不存在父節點，需要建立一個作為父節點。原來小於“J”的那些項作為左子樹，原來大於“J”的那些項作為右子樹。這是非葉子節點的分裂，操作物件都是用作索引的關鍵字，不必考慮資料存放問題。
插入“G”，從根節點開始查詢，“G”小於“J”，往第一個分支，
逐一比較節點內項的值，“G”大於“C”小於“H”，往第二個分支，
逐一比較節點內項的值，找到“G”的位置並插入，
插入“F”，從根節點開始查詢，“F”小於“J”，往第一個分支，
逐一比較節點內項的值，“F”大於“C”小於“H”，往第二個分支，
逐一比較節點內項的值，找到“F”的位置並插入，此時觸發分裂操作，
選取待分裂節點中間位置的項“F”，然後將“F”項放到父節點中，按大小順序將“F”放到指定位置，而原來小於“F”的那些項作為左子樹，原來大於等於“F”的那些項作為右子樹。父節點存放的“F”項不包括資料，資料仍然存放在右子樹。此外，還需要在左子樹中新增一個指向右子樹的指標。
最後插入“E”，從根節點開始查詢，“E”小於“J”，往第一個分支，
逐一比較節點內項的值，“E”大於“C”小於“F”，往第二個分支，
逐一比較節點內項的值，找打“E”適當的位置並插入。
從上面插入操作可以總結，插入主要就是涉及到分裂操作，而且要注意到非節點只儲存了關鍵字作為索引，而資料都儲存在葉子節點上，此外還需要使用指標將葉子節點連線起來。最終我們可以看到葉子節點的項按從小到大排列，因為有了指標使得可以很方便遍歷資料。
查詢操作
對B+樹的查詢與B樹的查詢差不多，從根節點開始查詢，通過比較項的值找到對應的分支，然後繼續往子樹上查詢。
比如查詢“H”，“H”小於“J”，往第一個分支，
逐一比較節點中的項，發現應該往第四個分支，
逐一比較，找到“H”。
遍歷操作
遍歷操作首先是要先找到樹最左邊的葉子節點，然後就可以通過指標完成整棵樹的遍歷了。
從根節點開始，一直往第一個分支走，
繼續往第一個分支走，
發現已經到葉子節點了，這就是要找的遍歷的開端，
第一個葉子節點有兩個項，接著根據指標跳到第二個葉子節點，
第二個節點有三個項，根據指標繼續往下一個節點，
該節點有兩個項，根據指標繼續往下一個節點，
不斷根據指標往下，
往下，
完成整棵樹的遍歷。
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