B樹與B⁺樹

計算機的發展速度很快，CPU、記憶體、顯示卡等已不再是計算機效能的瓶頸，SSD硬碟的出現也使得硬碟讀寫速度有了質的飛躍，但和記憶體相比依然有極大的差距，這就意味著我們在記憶體環境下設計的演算法，在涉及到硬碟讀寫時效率會極大地降低。比如紅黑樹、AVL樹等，因為其每個結點只能儲存一個資料，且每個結點最多有兩個子結點，這意味著當資料很多時，樹的高度會非常大，也就意味著要頻繁地進行IO操作。即使是普通的樹，每個結點可以有多個孩子，那它要麼度非常大，要麼高度特別大，也可能兩者都特別大，也無法擺脫頻繁IO操作帶來的效能瓶頸。今天要研究的B樹和B⁺樹就是這種頻繁IO操作場景的解決辦法。

B樹

定義

我們首先要知道多路查詢樹的概念，它的定義如下：

多路查詢樹（multi-way search tree），其每一個結點的孩子數可以多於兩個，且每一個結點處可以儲存多個元素。

和普通的樹相比，多路查詢樹一個節點不再是隻能儲存一個元素，這打破了我們對樹的理解，但是正是這個特性，使得它能夠出色地解決IO問題。我們要研究的B樹就是一棵多路查詢樹，它的定義如下：

B樹是一種平衡的多路查詢樹，結點最大的孩子數目稱為B樹的階（Order）。

一個m階的B樹具有如下屬性：

• 如果根結點不是葉結點，則其至少有兩棵子樹。
• 每一個非根的分支結點都有k-1個元素和k個孩子，其中[m/2]≤ k ≤ m。每一個葉子結點 n 都有k-1個元素，其中[m/2]≤ k ≤ m。
• 所有葉子結點都位於同一層次。
• 所有分支結點包含下列資訊資料( n, A₀, K₁, A₁, K₂, A₂, …, K_n, A_n )，其中: K_i( i=1, 2, …, n ) 為關鍵字，且K_i < K_i+1( i=1, 2, …, n-1 ); A_i ( i=0, 2, …, n) 為指向子樹根結點的指標，且指標A_i-1所指子樹中所有結點的關鍵字均小於K_i( i=1, 2, …, n ) ，A_n 所指子樹中所有結點的關鍵字均大於K_n，n ( [m/2]-1 ≤ n ≤ m-1 ) 為關鍵字的個數(或 n+1 為子樹的個數)。

這段定義一定讓人感到費解吧，那我們就從B樹的一個特例：2-3樹作為切入點，來看看一個B樹是如何構建和操作的。

2-3樹是這樣的一棵多路查詢樹：其中的每一個結點都具有兩個孩子（稱為2結點）或三個孩子（稱為3結點）。

它擁有如下屬性：

• 一個2結點包含一個元素和兩個孩子（或沒有孩子），和二叉排序樹一致，左子樹包含的元素小於該元素，右子樹包含的元素大於該元素。但是這個2結點要麼有兩個孩子，要麼沒有孩子，不能只有一個孩子。
• 一個3結點包含兩個元素和三個孩子（或沒有孩子），左子樹、較小元素、中間子樹、較大元素和右子樹也按照從小到大排序。一個3結點要麼有三個孩子，要麼沒有孩子。
• 2-3樹的所有葉子結點都在同一層次上。

按照這個描述，一棵正確的2-3樹大概長這個樣子：

插入

下面我們通過構造一棵2-3樹來演示它的增刪過程，假定初始資料為：{1, 7, 4, 9, 15, 13, 6, 5, 8, 10, 3, 12, 14, 2, 11}。現在樹為空，要把1插入進去只需要構建一個2結點即可，如下所示：

接下來插入元素7，只要把當前結點升級為3結點即可，如下所示：

接下來插入4，可以發現根結點已經是3結點了，因為必須是平衡的，所以只能把根結點拆開，變為3個2結點，如下所示：

插入9時，因為9比4大，所以插入到右側，而7所在結點可以升級為3結點，所以插入結果如下所示：

接下來要插入15，因為9所在結點已經是3結點，但是它的父結點4是2結點，所以可以把4所在結點升級，因為3結點必須有三個孩子，所以7和9所在結點需要拆分，如下所示：

接下來插入13和6時，對應節點都可以升級，所以插入結果如下：

接下來插入元素5時，發現6所在結點已經是3結點，而父結點，也就是根結點也是3結點了，這時只能再次拆分。首先，5、6、7中間的數是6，我們把它提出來，它應該位於4和9中間，如下所示：

因為3結點只能有兩個元素，所以根結點也必須拆分，結果如下：

可以發現，根結點拆分後使得樹的高度增加了。接下來插入8，10，3也是重複步驟，結果如下：

至此，再插入元素12、14、2時也變得十分簡單了，結果如下：

最後插入11，可以發現它在10和12之間，而父結點也是3結點，所以10和12要拆分，9和13也要拆分，11應該和6一起升級為3結點，結果如下：

刪除

現在，我們已經建立了一棵2-3樹，我們按照插入順序，再演示刪除的過程。首先刪除元素1，因為1是2結點，刪除後會影響平衡，但是我們發現它的父結點是一個3結點，所以可以把父結點拆開，2和3合併成一個3結點，結果如下：

現在，要刪除7，因為7是葉節點也是3結點，直接刪除就可以，結果如下：

刪除結點4，因為它的左孩子是3結點，只要把它拆開就可以了，結果如下：

刪除9時比較複雜，因為它的左右孩子都是2結點，首先把它的兩個孩子合併為3結點並代替它，結果如下：

此時樹是不平衡的，此時發現左側3和6可以合併為3結點，結果如下：

接下來刪除15，直接刪除即可，結果如下：

刪除13也比較複雜，首先需要把它的兩個孩子合併，然後以11為根結點，做類似右旋的操作，具體做法是6的右孩子成為11的左孩子，然後6成為11的父結點，這和AVL樹等的右旋操作是一致的，結果如下：

接下來要刪除的元素6是根結點，做法是先找到它的前驅（第一個比它小的元素）5代替它，此時2、3結點需要合併，合併後左右子樹不再平衡，所以還需要5和11合併，結果如下：

其餘的刪除操作其實和前面的都類似，這裡不再演示了，感興趣的可以自己試一試，很快就可以發現規律。

總結

這裡介紹的2-3樹是B樹的一個特例，B樹就是把2-3樹的階擴充套件到了m，它的每個結點特性和2-3樹一致，除葉結點外每個結點的指標域和資料域都必須填充。那麼B樹是如何解決IO訪問問題的呢？假設我們有一棵階為1001的B樹，也就是每個結點可以儲存1000個資料和1001個指標，那麼在高度為2的層上，可以儲存的資料是1001X1000個，而它的指標數量為1001X1001個，這些指標可以指向的資料為1001X1001X1000個，大概有10億條資料。這意味著，只要我們把根結點儲存在記憶體中，訪問這10億條資料最多需要兩次IO操作，這是其他結構無法比擬的。

那麼B樹的問題在哪裡呢？在實際使用時，通常階數是和磁碟頁面大小匹配的，也就是每次都會讀取一頁的資料，因為磁碟在頁面內連續讀取速度非常快，但在頁間就相對慢些。這是它的優點，也恰恰是它的問題所在。假設每個結點都在不同的頁面，我們要對它進行中序遍歷，其經過大概如下：

其中序遍歷為頁面2->頁面1->頁面3->頁面1->頁面4。可以發現位於頁面1的結點會被多次訪問，且位於該結點的元素也會被多次遍歷，這樣一來效率會變得很低，所以B樹對遍歷是不友好的。接下來介紹的B⁺樹就是對此問題的優化。

B⁺樹

遍歷的需求主要來源於“掃庫”，比如網站大量充斥著各種列表，如果使用B樹遍歷，效率實在太低了。B⁺樹在B樹的基礎上做了改進，在B⁺樹中，出現在分支結點中的元素會被當作它們在該分支結點位置的中序後繼者（葉子結點）中再次列出，且每一個葉子結點都會儲存一個指向後一葉子結點的指標。如下就是一棵B⁺樹：

為了簡化，葉子結點的左右兩側指標域省略。它的特點就是任何非葉子結點都會在葉結點上再次出現一次，並且所有葉子結點從左到右連結了起來。總體來說，它也具備B樹的特性，只是在兩個方面有所區別。第一就是查詢元素時，即使在非葉子結點找到了目標值，它也只是用來索引的，還需要繼續找到它在葉子結點的位置。第二就是如果要遍歷，只需要遍歷一次葉子結點即可。B⁺樹的結構也十分適合範圍查詢，只需要找到範圍的最小值所在位置，然後沿連結串列遍歷即可。

B樹與B⁺樹對比

B樹與B⁺樹都是對磁碟友好的資料結構，能大幅降低磁碟訪問次數。B樹的優點在於資料儲存在每個結點中，可以更快訪問到，而不必須走到葉子結點，B樹更多的用在檔案系統中。B⁺樹的每個非葉子結點都只充當索引，所以查詢必須到葉子結點結束，但它十分適合“掃庫”和區間查詢，而且因為大多結點只用於索引，所以並不會儲存真正的資料，在記憶體上會更緊湊，相同的記憶體就可以存放更多的索引資料了。比如字典的拼音和漢字是分離的，只需要幾十頁就能得到完整的拼音表，但是如果拼音和漢字摻雜在一起，要得到完整的索引（拼音）表就需要整個字典。B⁺樹的這些特性使得它更適合用來做資料庫的索引。

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