堆(heap)又被為優先佇列(priority queue)。儘管名為優先佇列，但堆並不是佇列。
因為佇列中允許的操作是先進先出（FIFO），在隊尾插入元素，在隊頭取出元素。
而堆雖然在堆底插入元素，在堆頂取出元素，但是堆中元素的排列不是按照到來的先後順序，而是按照一定的優先順序排列的。
本文通過堆的實現、最小堆（最大堆）、堆的時間複雜度、優先佇列的實現、堆排序來介紹「 堆 」。
堆的實現
堆的一個經典的實現是完全二叉樹(complete binary tree)，這樣實現的堆稱為二叉堆(binary heap)。
這裡來說明一下滿二叉樹的概念與完全二叉樹的概念。
滿二叉樹：除了葉子節點，所有的節點的左右孩子都不為空，就是一棵滿二叉樹，如下圖。
完全二叉樹：不一定是一個滿二叉樹，但它不滿的那部分一定在右下側，如下圖
堆的特性：
- 必須是完全二叉樹
- 任一結點的值是其子樹所有結點的最大值或最小值
- 最大值時，稱為“最大堆”，也稱大頂堆；
- 最小值時，稱為“最小堆”，也稱小頂堆。
堆的基礎實現
只要謹記堆的定義特性，實現起來其實是很容易的。
- 特性1. 維持完全二叉樹
- 特性2. 子類數字總是大於父類數字
public class MinHeap <E extends Comparable<E>> {
private Array<E> data;
public MinHeap(int capacity){
data = new Array<>(capacity);
}
public MinHeap(){
data = new Array<>();
}
// 返回堆中的元素個數
public int size(){
return data.getSize();
}
// 返回一個布林值, 表示堆中是否為空
public boolean isEmpty(){
return data.isEmpty();
}
// 返回完全二叉樹的陣列表示中，一個索引所表示的元素的父親節點的索引
private int parent(int index){
return (index - 1) / 2;
}
// 返回完全二叉樹的陣列表示中，一個索引所表示的元素的左孩子節點的索引
private int leftChild(int index){
return index * 2 + 1;
}
// 返回完全二叉樹的陣列表示中，一個索引所表示的元素的右孩子節點的索引
private int rightChild(int index){
return index * 2 + 2;
}
}
複製程式碼最小堆的插入（ADD）
假設現有元素 5 需要插入，為了維持完全二叉樹的特性，新插入的元素一定是放在結點 6 的右子樹；同時為了滿足任一結點的值要小於左右子樹的值這一特性，新插入的元素要和其父結點作比較，如果比父結點小，就要把父結點拉下來頂替當前結點的位置，自己則依次不斷向上尋找，找到比自己大的父結點就拉下來，直到沒有符合條件的值為止。
動畫講解：
- 在這裡先將元素 5 插入到末尾，即放在結點 6 的右子樹。
然後與父類比較， 6 > 5 ，父類數字大於子類數字，子類與父類交換。
重複此操作，直到不發生替換。
Show me the code：
新增一個輔助函式，用來交換傳入的索引兩個位置的元素值
/**
* 交換傳入的索引兩個位置的元素值
*
* @param i
* @param j
*/
public void swap(int i, int j) {
if (i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
E temp = data[i];
data[i] = data[j];
data[j] = temp;
}
複製程式碼陣列中新增交換兩元素位置的方法，注意下面程式碼中註釋的描述特性位置。
/**
* 堆中新增元素方法。
*
* @param e
*/
public void add(E e) {
//特性1：新插入的元素首先放在陣列最後，保持完全二叉樹的特性
data.addLast(e);
siftUp(data.getSize() - 1);
}
/**
* index 為i位置元素上浮。
*
* @param i
*/
private void siftUp(int i) {
//特性2：比較插入值和其父結點的大小關係，小於父結點則用父結點替換當前值，index位置上升為父結點
// 當上浮元素大於父親，繼續上浮。並且不能上浮到0之上
// 直到i 等於 0 或 比 父親節點小了。
while (i > 0 && data.get(i).compareTo(data.get(parent(i))) > 0) {
// 陣列Array中新增方法swap
data.swap(i, parent(i));
i = parent(i); // 這句話讓i來到新的位置，使得迴圈可以檢視新的位置是否還要大。
}
}
複製程式碼最小堆的刪除（DELETE）
核心點：將最後一個元素填充到堆頂，然後不斷的下沉這個元素。
假設要從節點 1 ，也可以稱為取出節點 1 ，為了維持完全二叉樹的特性 ，我們將最後一個元素 6 去替代這個 1 ；然後比較 1 和其子樹的大小關係，如果比左右子樹大（如果存在的話），就要從左右子樹中找一個較小的值替換它，而它能自己就要跑到對應子樹的位置，再次迴圈這種操作，直到沒有子樹比它小。
通過這樣的操作，堆依然是堆，總結一下：
- 找到要刪除的節點（取出的節點）在陣列中的位置
- 用陣列中最後一個元素替代這個位置的元素
- 當前位置和其左右子樹比較，保證符合最小堆的節點間規則
- 刪除最後一個元素
Show me the code：
public E findMin() {
return data.get(0);
}
public E extractMin() {
E ret = findMin();
data.swap(0, data.getSize() - 1); // 0位置元素和最後一個元素互換。
data.removeLast(); // 刪除此時的最後一個元素(最小值)
siftDown(0); // 對於0處進行siftDown操作
return ret;
}
/**
* k位置元素下移
*
* @param k
*/
private void siftDown(int k) {
while(leftChild(k) < data.getSize()){
int j = leftChild(k); // 在此輪迴圈中,data[k]和data[j]交換位置
if( j + 1 < data.getSize() &&
data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) < 0 )
j ++;
// data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最小值
if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 )
break;
data.swap(k, j);
k = j;
}
}
複製程式碼時間複雜度
對於有 n 個節點的堆來說，其高度 d = log2n + 1。 根為第 0 層，則第 i 層結點個數為 2i，
考慮一個元素在堆中向下移動的距離。
- 大約一半的結點深度為 d-1 ，不移動(葉)。
- 四分之一的結點深度為 d-2 ，而它們至多能向下移動一層。
- 樹中每向上一層，結點的數目為前一層的一半，而子樹高度加一
堆有logn層深，所以插入刪除的平均時間和最差時間都是O(logN)
優先佇列（priority_queue）
普通佇列是一種先進先出的資料結構，先放進佇列的元素取值時優先被取出來。而優先佇列是一種具有最高優先順序元素先出的資料結構，比如每次取值都取最大的元素。
優先佇列支援下面的操作：
- a. 找出優先順序最高的元素(最大或最小元素)；
- b. 刪除一個具有最高優先順序的元素；
- c. 新增一個元素到集合中。
程式碼實現
public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {
private MaxHeap<E> maxHeap;
public PriorityQueue(){
maxHeap = new MaxHeap<>();
}
@Override
public int getSize(){
return maxHeap.size();
}
@Override
public boolean isEmpty(){
return maxHeap.isEmpty();
}
@Override
public E getFront(){
return maxHeap.findMax();
}
@Override
public void enqueue(E e){
maxHeap.add(e);
}
@Override
public E dequeue(){
return maxHeap.extractMax();
}
}
複製程式碼堆排序
理解了優先佇列，堆排序的邏輯十分簡單。
第一步：讓陣列形成堆有序狀態；
第二步：把堆頂的元素放到陣列最末尾，末尾的放到堆頂，在剩下的元素中下沉到正確位置，重複操作即可。