資料結構與演算法：圖形結構
圖
圖形結構是一種比樹形結構更復雜的非線性結構。在樹形結構中，結點間具有分支層次關係，每一層上的結點只能和上一層中的至多一個結點相關，但可能和下一層的多個結點相關。而在圖形結構中，任意兩個結點之間都可能相關，即結點之間的鄰接關係可以是任意的。
因此，圖形結構被用於描述各種複雜的資料物件，在自然科學、社會科學和人文科學等許多領域有著非常廣泛的應用 。圖形結構在電腦科學、人工智慧、電子線路分析、最短路徑尋找、工程計劃、化學化合物分析統計力學、遺傳學、控制論語言學和社會科學等方面均有不同程度的應用可以這樣說，圖形結構在所有資料結構中應用最為廣泛。如在地鐵站中的線路圖：
圖的定義
圖是一種資料結構，其中節點可以具有零個或多個相鄰元素，兩個節點的連線稱之為邊，節點在圖形結構中也被稱為頂點，一個頂點到另一個頂點的經過的的線路稱為路徑。
圖形結構有3種型別：無向圖、有向圖、帶權圖
無向圖
有向圖：頂點A與頂點B之間的邊是有方向的，可以從A到B，但不可以從B到A
帶權圖：頂點A與頂點B之間的邊是帶有屬性的，如A到B的 距離。
圖的表達方式
圖的表達方式有兩種：鄰接矩陣(使用二維陣列)和鄰接表(使用陣列+連結串列)
鄰接矩陣
鄰接矩陣是表示圖形中各頂點之間的關係，矩陣的行和列對應各頂點，座標位置上的值對於它們之間的關係，1為連線, 0為沒有連線。在程式中用二維陣列來實現。
鄰接表
鄰接表只關係存在的邊，不需要去為不存在的邊分配空間，因此比鄰接矩陣來說，避免了不必要的空間浪費。在程式中用陣列+連結串列的形式實現，陣列儲存對應的頂點，連結串列儲存該頂點連線的所有頂點。
圖的搜尋演算法
圖形結構基礎屬性和方法
以下的程式碼演示都是以鄰接矩陣表達方式來實現的
//圖形結構(鄰接矩陣) class Graph { //儲存圖中所有頂點 private List<String> vertexes; //圖形結構的鄰接矩陣 private int[][] matrix; //各頂點訪問情況，true為已訪問，false為未訪問 private boolean[] visited; /** * 根據傳入的頂點資訊生成矩陣 * @param s */ public Graph(String s[]) { vertexes = new ArrayList<>(); for (String vertex : s){ vertexes.add(vertex); } matrix = new int[s.length][s.length]; } /** * 將倆個頂點連線，即生成邊 * @param index1 頂點在集合中的索引 * @param index2 */ public void connect(int index1, int index2){ if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){ throw new RuntimeException("該頂點未存在"); } //將新的鄰接新增的鄰接矩陣中 matrix[index1][index2] = 1; matrix[index2][index1] = 1; } /** * 展示鄰接矩陣 */ public void showGraphMatrix(){ for (int arr[] : matrix){ System.out.println(Arrays.toString(arr)); } } /** * 獲取頂點在鄰接矩陣對應行row中的第一個鄰接頂點下標 * @param row * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int row){ for(int i =0; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } /** * 獲取頂點在鄰接矩陣對於行row中col列的下一個鄰接頂點 * @param row * @param col * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1 */ public int getNeighbor(int row, int col){ for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } }
深度優先搜尋
思路：從當前頂點選一個與之連線而未訪問過的頂點，將當前節點往該鄰接頂點移動，如果鄰接頂點沒有未訪問的，則回溯到上一個頂點位置，繼續該步驟。直到所有頂點都訪問過。
往鄰接但未訪問過的頂點移動
鄰接頂點沒有未訪問的，進行回溯，直到遇到未訪問的鄰接頂點
當所有頂點都被訪問過時，退出演算法
下面是深度優先搜尋的過程動畫
程式碼演示
public void dsf(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; //以在集合中下標為0的頂點，進行深度搜尋 dsf(visited, 0); } /** * 深度優先搜尋 * @param visited * @param row */ public void dsf(boolean[] visited, int row){ //輸出當前頂點 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //將當前頂點設為已訪問 visited[row] = true; //獲取當前頂點的鄰接頂點下標 int index = getFirstNeighbor(row); //如果當前頂點有鄰接頂點則進行深度搜尋 while (index != -1){ //當鄰接頂點未訪問時，則遞迴遍歷 if (visited[index] != true){ dsf(visited, index); } //當鄰接頂點已訪問時，則尋找另一個鄰接頂點 index = getNeighbor(row, index); } }
寬度優先搜尋演算法（又稱廣度優先搜尋）是最簡便的圖的搜尋演算法之一，這一演算法也是很多重要的圖的演算法的原型。Dijkstra單源最短路徑演算法和Prim最小生成樹演算法都採用了和寬度優先搜尋類似的思想。其別名又叫BFS，屬於一種盲目搜尋法，目的是系統地展開並檢查圖中的所有節點，以找尋結果。換句話說，它並不考慮結果的可能位置，徹底地搜尋整張圖，直到找到結果為止。
寬度優先搜尋演算法類似於一個分層搜尋的過程，寬度優先搜尋演算法需要一個佇列以保持訪問過頂點的順序，以便按這個順序來訪問這些頂點的鄰接頂點。
思路：依次訪問當前頂點的鄰接頂點，並按訪問順序將這些鄰接頂點儲存在佇列中，噹噹前頂點的所有鄰接頂點都被訪問後，從佇列中彈出一個頂點，以該頂點為當前頂點繼續該步驟，直到所有頂點都被訪問過。
依次訪問當前頂點的所有鄰接頂點，並把這些鄰接頂點按訪問順序儲存在佇列中
當前頂點沒有未訪問的鄰接頂點，從佇列中彈出一個頂點，以該彈出頂點繼續訪問未訪問的鄰接頂點
注意，雖然圖中的頂點都已經訪問過了，但還是要等佇列中的所有頂點彈出訪問後，演算法才結束
下面時寬度優先搜尋的過程動畫
程式碼演示
public void bfs(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; ////以在集合中下標為0的頂點，進行廣度優先搜尋 bfs(visited, 0); } /** * 廣度優先搜尋 * @param visited * @param row */ public void bfs(boolean[] visited, int row){ //建立佇列，儲存遍歷鄰接頂點的順序 LinkedList queue = new LinkedList(); //輸出當前頂點 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //將當前頂點設為已訪問 visited[row] = true; //將當前頂點加入佇列中 queue.add(row); //當佇列不為空時，即有未搜尋的鄰接頂點，進行搜尋 while (!queue.isEmpty()){ //按順序從佇列中彈出鄰接頂點下標 int last = (Integer)queue.removeFirst(); //獲取該彈出頂點的鄰接頂點下標 int index = getFirstNeighbor(last); //當彈出頂點有鄰接頂點時，進行廣度搜尋 while(index != -1){ //當鄰接頂點未訪問時 if(visited[index] != true){ //輸出該鄰接頂點 System.out.print(vertexes.get(index) + " -> "); //把該鄰接頂點設為已訪問 visited[index] = true; //將該鄰接頂點加入佇列 queue.addLast(index); } //繼續尋找彈出頂點的另一個鄰接頂點 index = getNeighbor(last, index); } } }
public class GraphDemo { public static void main(String[] args) { String[] s = {"A","B","C","D","E","F","G"}; Graph graph = new Graph(s); //A-B A-C A-G A-F F-D F-E D-E E-G graph.connect(0, 1); graph.connect(0, 2); graph.connect(0, 6); graph.connect(0, 5); graph.connect(5, 3); graph.connect(5, 4); graph.connect(3, 4); graph.connect(4, 6); graph.showGraphMatrix(); graph.dsf();//A -> B -> C -> F -> D -> E -> G -> System.out.println(); graph.bfs();//A -> B -> C -> F -> G -> D -> E -> } } //圖形結構 class Graph { //儲存圖中所有頂點 private List<String> vertexes; //圖形結構的鄰接矩陣 private int[][] matrix; //各頂點訪問情況，true為已訪問，false為未訪問 private boolean[] visited; /** * 根據傳入的頂點資訊生成矩陣 * @param s */ public Graph(String s[]) { vertexes = new ArrayList<>(); for (String vertex : s){ vertexes.add(vertex); } matrix = new int[s.length][s.length]; } /** * 將倆個頂點連線，即生成邊 * @param index1 頂點在集合中的索引 * @param index2 */ public void connect(int index1, int index2){ if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){ throw new RuntimeException("該頂點未存在"); } //將新的鄰接新增的鄰接矩陣中 matrix[index1][index2] = 1; matrix[index2][index1] = 1; } /** * 展示鄰接矩陣 */ public void showGraphMatrix(){ for (int arr[] : matrix){ System.out.println(Arrays.toString(arr)); } } public void dsf(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; //以在集合中下標為0的頂點，進行深度優先搜尋 dsf(visited, 0); } /** * 深度優先搜尋 * @param visited * @param row */ public void dsf(boolean[] visited, int row){ //輸出當前頂點 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //將當前頂點設為已訪問 visited[row] = true; //獲取當前頂點的鄰接頂點下標 int index = getFirstNeighbor(row); //如果當前頂點有鄰接頂點則進行深度搜尋 while (index != -1){ //當鄰接頂點未訪問時，則遞迴遍歷 if (visited[index] != true){ dsf(visited, index); } //當鄰接頂點已訪問時，則尋找另一個鄰接頂點 index = getNeighbor(row, index); } } public void bfs(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; ////以在集合中下標為0的頂點，進行廣度優先搜尋 bfs(visited, 0); } /** * 廣度優先搜尋 * @param visited * @param row */ public void bfs(boolean[] visited, int row){ //建立佇列，儲存遍歷鄰接頂點的順序 Queue queue = new ArrayDeque(); //輸出當前頂點 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //將當前頂點設為已訪問 visited[row] = true; //將當前頂點加入佇列中 queue.add(row); //當佇列不為空時，即有未搜尋的鄰接頂點，進行搜尋 while (!queue.isEmpty()){ //按順序從佇列中彈出鄰接頂點下標 int last = (Integer)queue.poll(); //獲取該彈出頂點的鄰接頂點下標 int index = getFirstNeighbor(last); //當彈出頂點有鄰接頂點時，進行廣度搜尋 while(index != -1){ //當鄰接頂點未訪問時 if(visited[index] != true){ //輸出該鄰接頂點 System.out.print(vertexes.get(index) + " -> "); //把該鄰接頂點設為已訪問 visited[index] = true; //將該鄰接頂點加入佇列 queue.add(index); } //繼續尋找彈出頂點的另一個鄰接頂點 index = getNeighbor(last, index); } } } /** * 獲取頂點在鄰接矩陣對應行row中的第一個鄰接頂點下標 * @param row * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int row){ for(int i =0; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } /** * 獲取頂點在鄰接矩陣對於行row中col列的下一個鄰接頂點 * @param row * @param col * @return 當有鄰接頂點時返回鄰接頂點下標，沒有則返回-1 */ public int getNeighbor(int row, int col){ for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } }