圖
圖（graph）是一種非線性資料結構，由頂點（vertex）和邊（edge）組成。我們可以將圖G抽象地表示為一組頂點V和一組邊E的集合。以下示例展示了一個包含5個頂點和7條邊的圖。
如果將頂點看做節點，將邊看做連線各個節點的引用（指標），我們就可以將圖看作一種從連結串列擴充而來的資料結構。如下圖，相較於線性關係（連結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）的自由度更高，因而更為複雜。
根據邊是否具有方向，可分為無向圖（undirected graph）和有向圖（directed graph）。
- 在無向圖中，邊表示兩頂點之間的“雙向關係”，例如微信或者QQ中的“好友關係”。
- 在有向圖中，邊具有方向性，即𝐴 → 𝐵 和 𝐴 ← B兩個方向的邊是相互獨立的，例如微博或抖音上的“關注”與“被關注”關係。
根據所有頂點是否連通，可分為連通圖（connected graph）和非連通圖（disconnected graph）。
- 對於連通圖，從某個頂點出發，可以到達其餘任意頂點。
- 對於非連通圖，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。
我們還可以為邊新增“權重”變數，從而得到如圖所示的有權圖（weighted graph）。例如在《王者榮耀》等手遊中，系統會根據共同遊戲時間來計算玩家之間的“親密度”，這種親密度網路就可以使用有權圖來表示。
圖資料結構包含以下常用術語：
- 鄰接（adjacency）：當兩個頂點之間存在邊相連時，稱這兩頂點“鄰接”。
- 路徑（path）：從頂點A到頂點B經過的邊構成的序列被稱為從A到B的“路徑”。
- 度（degree）：一個頂點擁有的邊數。對於有向圖，入度（in-degree）表示有多少條邊指向該頂點，出度（out-degree）表示有多少條邊從該頂點指出。
圖的表示
圖的常用表示方法包括“鄰接矩陣”和“鄰接表”。
鄰接矩陣
設圖的頂點數量為n，**鄰接矩陣（adjacency matrix）使用一個 n*n大小的矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用1或0表示兩個頂點之間是否存在邊。
如下圖，設鄰接矩陣為M、頂點列表為V，那麼矩陣元素M[i,j] = 1表示頂點V[i]到頂點V[j]之間存在邊，反之M[i,j] = 0表示兩頂點之間無邊。
鄰接矩陣具有以下特性：
- 頂點不能與自身相連，因此鄰接矩陣主對角線元素沒有意義。
- 對於無向圖，兩個方向的邊等價，此時鄰接矩陣關於主對角線對稱。
- 將鄰接矩陣的元素從1和0替換為權重，則可表示有權圖。
使用鄰接矩陣表示圖時，我們可以直接訪問矩陣元素以獲取邊，因此增刪改查操作的效率很高，時間複雜度均為O(1)。然而矩陣的空間複雜度為O(n2),記憶體佔用較多。
鄰接表
鄰接表（adjacency list）使用n個連結串列來表示圖，連結串列節點表示頂點。第i個連結串列對應頂點i，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點（與該頂點相連的頂點）。
鄰接表進儲存實際存在的邊，而邊的總數通常遠小於n2，因此它更加節省空間。但是在鄰接表中需要透過遍歷連結串列來查詢邊，因此其查詢時間效率不如鄰接矩陣。
鄰接表結構與雜湊表中的“鏈式地址”非常相似，因此我們也可以採用類似方法來最佳化效率。比如當連結串列較長時，可以將連結串列轉化為AVL樹或紅黑樹，從而將時間效率從O(n)最佳化至O(logn);還可以把連結串列轉換為雜湊表，從而將時間複雜度降至O(1)。
圖的常見應用
許多現實系統可以用圖來建模，相應的問題也可以約化為圖計算問題。
| 頂點 | 邊 | 圖計算問題 | |
|---|---|---|---|
| 社交網路 | 使用者 | 好友關係 | 潛在好友推薦 |
| 地鐵線路 | 站點 | 站點間的連通性 | 最短路線推薦 |
| 太陽系 | 星體 | 星體間的萬有引力作用 | 行星軌道計算 |