主要介紹最短路徑問題和鬆弛操作、Dijkstra演算法的思想、負權邊和Bellman-Ford演算法等
最短路徑問題和鬆弛操作
一個節點到另一個節點最短的路徑，路徑規劃問題。
- 路徑規劃（費用、長度）
- 工作任務規劃
對於無權圖進行廣度優先遍歷就是求出了一個最短路徑（求出的是一顆最短路徑樹）
-
從起始點到其他節點路徑最短的樹
-
無權圖的最短路徑。
- 有權最短路徑
鬆弛操作
鬆弛操作是指對於每個頂點v∈V，都設定一個屬性d[v]，用來描述從源點s到v的最短路徑上權值的上界，稱為最短路徑估計（shortest-path estimate）。
- 鬆弛操作,找到更短路徑，鬆弛操作是最短路徑求解的核心。
dijkstra 單源最短路徑演算法
侷限性
- 前提：圖中不能有負權邊
- 複雜度 O( E log(V) )同最小生成樹
最小索引堆
- 從源點能到達的點中最短的路徑。
- 圖中不能有負權邊
鬆弛操作
- 經過2到達1和經過2到達3比原來記錄的值小，所以鬆弛更新。
- 經過1到4更短
程式碼實現
// Dijkstra演算法求最短路徑
template<typename Graph, typename Weight>
class Dijkstra{
private:
Graph &G; // 圖的引用
int s; // 起始點
Weight *distTo; // distTo[i]儲存從起始點s到i的最短路徑長度
bool *marked; // 標記陣列, 在演算法執行過程中標記節點i是否被訪問
vector<Edge<Weight>*> from; // from[i]記錄最短路徑中, 到達i點的邊是哪一條
// 可以用來恢復整個最短路徑
public:
// 建構函式, 使用Dijkstra演算法求最短路徑
Dijkstra(Graph &graph, int s):G(graph){
// 演算法初始化
assert( s >= 0 && s < G.V() );
this->s = s;
distTo = new Weight[G.V()];
marked = new bool[G.V()];
for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
distTo[i] = Weight();
marked[i] = false;
from.push_back(NULL);
}
// 使用索引堆記錄當前找到的到達每個頂點的最短距離
IndexMinHeap<Weight> ipq(G.V());
// 對於其實點s進行初始化
distTo[s] = Weight();
from[s] = new Edge<Weight>(s, s, 0);
ipq.insert(s, distTo[s] );
marked[s] = true;
while( !ipq.isEmpty() ){
int v = ipq.extractMinIndex();
// distTo[v]就是s到v的最短距離
marked[v] = true;
// 對v的所有相鄰節點進行更新
typename Graph::adjIterator adj(G, v);
for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() ){
int w = e->other(v);
// 如果從s點到w點的最短路徑還沒有找到
if( !marked[w] ){
// 如果w點以前沒有訪問過,
// 或者訪問過, 但是通過當前的v點到w點距離更短, 則進行更新
if( from[w] == NULL || distTo[v] + e->wt() < distTo[w] ){
distTo[w] = distTo[v] + e->wt();
from[w] = e;
if( ipq.contain(w) )
ipq.change(w, distTo[w] );//最小索引堆支援change操作
else
ipq.insert(w, distTo[w] );
}
}
}
}
}
// 解構函式
~Dijkstra(){
delete[] distTo;
delete[] marked;
delete from[0];
}
// 返回從s點到w點的最短路徑長度
Weight shortestPathTo( int w ){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
assert( hasPathTo(w) );
return distTo[w];
}
// 判斷從s點到w點是否聯通
bool hasPathTo( int w ){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
return marked[w];
}
// 尋找從s到w的最短路徑, 將整個路徑經過的邊存放在vec中
void shortestPath( int w, vector<Edge<Weight>> &vec ){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
assert( hasPathTo(w) );
// 通過from陣列逆向查詢到從s到w的路徑, 存放到棧中
stack<Edge<Weight>*> s;
Edge<Weight> *e = from[w];
while( e->v() != this->s ){
s.push(e);
e = from[e->v()];
}
s.push(e);
// 從棧中依次取出元素, 獲得順序的從s到w的路徑
while( !s.empty() ){
e = s.top();
vec.push_back( *e );
s.pop();
}
}
// 列印出從s點到w點的路徑
void showPath(int w){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
assert( hasPathTo(w) );
vector<Edge<Weight>> vec;
shortestPath(w, vec);
for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){
cout<<vec[i].v()<<" -> ";
if( i == vec.size()-1 )
cout<<vec[i].w()<<endl;
}
}
};
複製程式碼main.cpp:
// 測試我們的Dijkstra最短路徑演算法
int main() {
string filename = "testG1.txt";
int V = 5;
SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, true);
// Dijkstra最短路徑演算法同樣適用於有向圖
//SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, false);
ReadGraph<SparseGraph<int>, int> readGraph(g, filename);
cout<<"Test Dijkstra:"<<endl<<endl;
Dijkstra<SparseGraph<int>, int> dij(g,0);
for( int i = 0 ; i < V ; i ++ ){
if(dij.hasPathTo(i)){
cout<<"Shortest Path to "<<i<<" : "<<dij.shortestPathTo(i)<<endl;
dij.showPath(i);
}
else
cout<<"No Path to "<<i<<endl;
cout<<"----------"<<endl;
}
return 0;
}
複製程式碼負權邊和Bellman-Ford演算法
dijkstra演算法不能處理負權邊
-
擁有負權環的不存在最短路徑
-
兩邊形成負權環
Bellman-Ford 單源最短路徑演算法
- 一個圖不能有負權環
- bellman-ford可以判斷圖中是否有負權環
- 從一點到另外一點的最短路徑，最多經過所有的V個頂線，有V-1條邊
- 否則，存在頂點經過了兩次，既存在負權環
鬆弛操作的核心是我們找到了一條邊的路徑，我們看一下有沒有兩條邊的路徑比他權值小。
- 對一個點的一次鬆弛操作，就是找到經過這個點的另外一條路徑，多一條邊，權值更小。
- 如果一個圖沒有負權環，從一點到另外一點的最短路徑，最多經過所有的V個頂線，有V-1條邊
- 對所有的點進行V-1次鬆弛操作
- 對所有的點進行V-1次鬆弛操作，理論上就找到了從源點到其他所有點的最短路徑。
- 如果還可以繼續鬆弛，所說原圖中有負權環。
程式碼實現
// 使用BellmanFord演算法求最短路徑
template <typename Graph, typename Weight>
class BellmanFord{
private:
Graph &G; // 圖的引用
int s; // 起始點
Weight* distTo; // distTo[i]儲存從起始點s到i的最短路徑長度
vector<Edge<Weight>*> from; // from[i]記錄最短路徑中, 到達i點的邊是哪一條
// 可以用來恢復整個最短路徑
bool hasNegativeCycle; // 標記圖中是否有負權環
// 判斷圖中是否有負權環
bool detectNegativeCycle(){
for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
typename Graph::adjIterator adj(G,i);
for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() )
if( from[e->v()] && distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()] )
return true;
}
return false;
}
public:
// 建構函式, 使用BellmanFord演算法求最短路徑
BellmanFord(Graph &graph, int s):G(graph){
this->s = s;
distTo = new Weight[G.V()];
// 初始化所有的節點s都不可達, 由from陣列來表示
for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ )
from.push_back(NULL);
// 設定distTo[s] = 0, 並且讓from[s]不為NULL, 表示初始s節點可達且距離為0
distTo[s] = Weight();
from[s] = new Edge<Weight>(s, s, 0); // 這裡我們from[s]的內容是new出來的, 注意要在解構函式裡delete掉
// Bellman-Ford的過程
// 進行V-1次迴圈, 每一次迴圈求出從起點到其餘所有點, 最多使用pass步可到達的最短距離
for( int pass = 1 ; pass < G.V() ; pass ++ ){
// 每次迴圈中對所有的邊進行一遍鬆弛操作
// 遍歷所有邊的方式是先遍歷所有的頂點, 然後遍歷和所有頂點相鄰的所有邊
for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
// 使用我們實現的鄰邊迭代器遍歷和所有頂點相鄰的所有邊
typename Graph::adjIterator adj(G,i);
for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() )
// 對於每一個邊首先判斷e->v()可達
// 之後看如果e->w()以前沒有到達過， 顯然我們可以更新distTo[e->w()]
// 或者e->w()以前雖然到達過, 但是通過這個e我們可以獲得一個更短的距離, 即可以進行一次鬆弛操作, 我們也可以更新distTo[e->w()]
if( from[e->v()] && (!from[e->w()] || distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()]) ){
distTo[e->w()] = distTo[e->v()] + e->wt();
from[e->w()] = e;
}
}
}
hasNegativeCycle = detectNegativeCycle();
}
// 解構函式
~BellmanFord(){
delete[] distTo;
delete from[s];
}
// 返回圖中是否有負權環
bool negativeCycle(){
return hasNegativeCycle;
}
// 返回從s點到w點的最短路徑長度
Weight shortestPathTo( int w ){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
assert( !hasNegativeCycle );
assert( hasPathTo(w) );
return distTo[w];
}
// 判斷從s點到w點是否聯通
bool hasPathTo( int w ){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
return from[w] != NULL;
}
// 尋找從s到w的最短路徑, 將整個路徑經過的邊存放在vec中
void shortestPath( int w, vector<Edge<Weight>> &vec ){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
assert( !hasNegativeCycle );
assert( hasPathTo(w) );
// 通過from陣列逆向查詢到從s到w的路徑, 存放到棧中
stack<Edge<Weight>*> s;
Edge<Weight> *e = from[w];
while( e->v() != this->s ){
s.push(e);
e = from[e->v()];
}
s.push(e);
// 從棧中依次取出元素, 獲得順序的從s到w的路徑
while( !s.empty() ){
e = s.top();
vec.push_back( *e );
s.pop();
}
}
// 列印出從s點到w點的路徑
void showPath(int w){
assert( w >= 0 && w < G.V() );
assert( !hasNegativeCycle );
assert( hasPathTo(w) );
vector<Edge<Weight>> vec;
shortestPath(w, vec);
for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){
cout<<vec[i].v()<<" -> ";
if( i == vec.size()-1 )
cout<<vec[i].w()<<endl;
}
}
};
複製程式碼main.cpp:
// 測試Bellman-Ford演算法
int main() {
string filename = "testG2.txt";
//string filename = "testG_negative_circle.txt";
int V = 5;
SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, true);
ReadGraph<SparseGraph<int>, int> readGraph(g, filename);
cout<<"Test Bellman-Ford:"<<endl<<endl;
BellmanFord<SparseGraph<int>, int> bellmanFord(g,0);
if( bellmanFord.negativeCycle() )
cout<<"The graph contain negative cycle!"<<endl;
else
for( int i = 1 ; i < V ; i ++ ) {
if (bellmanFord.hasPathTo(i)) {
cout << "Shortest Path to " << i << " : " << bellmanFord.shortestPathTo(i) << endl;
bellmanFord.showPath(i);
}
else
cout << "No Path to " << i << endl;
cout << "----------" << endl;
}
return 0;
}
複製程式碼用於有向圖，因為無向圖中一條負權邊就等價於兩個方向都有，會形成環。
更多和最短路徑相關的問題
單源最短路徑演算法 具體實現改進
-
具體實現，distTo[i] 初始化為“正無窮”
if( from[e->v()] && (!from[e->w()] || distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()]) ){ distTo[e->w()] = distTo[e->v()] + e->wt(); from[e->w()] = e; } 複製程式碼 -
利用佇列資料結構
-
queue-based bellman-ford演算法
單源最短路徑演算法對比
所有對最短路徑演算法
- Floyed演算法，處理無負權環的圖
- O( V^3 )
最長路徑演算法
- 最長路徑問題不能有正權環。
- 無權圖的最長路徑問題是指數級難度的。
- 對於有權圖，不能使用Dijkstra求最長路徑問題。
- 可以使用 Bellman-Ford演算法。（取負操作）
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