一、數的概念 Tree
- 如上圖所示，是一個樹形機構，這裡面每個元素叫作“節點”，用來連線相鄰節點之間的關係，叫作“父子關係”。
- A 節點是 B 節點的父節點， B 節點是 A 節點的子節點。
- B、 C、 D 這三個節點的父節點是同一個節點，所以它們之間互稱為兄弟節點。
- 沒有父節點的節點叫作根節點，也就是圖中的節點 E。
- 我們把沒有子節點的節點叫作葉子節點或者葉節點，比如圖中的 G、 H、 I、 J、 K、 L 都是葉子節點。
- 節點的高度：節點到葉子節點的最長路徑（邊數）。
- 節點的深度：根節點到這個節點所經歷的邊的個數。
- 節點的層數：節點的深度 + 1.
- 樹的高度：就是根節點的高度。
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二、二叉樹
2.1、二叉樹介紹
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二叉樹，顧名思義，每個節點最多有兩個“叉”，也就是兩個子節點，分別是左子節點和右子節點。
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不過，二叉樹並不要求每個節點都有兩個子節點，有的節點只有左子節點，有的節點只有右子節點。
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編號2的二叉樹中，葉子節點全都在最底層，除了葉子節點之外，每個節點都有左右兩個子節點，這種二叉樹就叫作滿二叉樹。
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編號3的二叉樹中，葉子節點都在最底下兩層，最後一層的葉子節點都靠左排列，並且除了最後一層，其他層的節點個數都要達到最大，這種二叉樹叫作完全二叉樹。
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2.2、二叉樹的儲存
儲存一棵二叉樹，有兩種方法，一種是基於指標或者引用的二叉鏈式儲存法，一種是基於陣列的順序儲存法。
1.鏈式儲存法
- 鏈式儲存比較簡單、直觀。
- 如下圖所示，每個節點有三個欄位，其中一個儲存資料，另外兩個是指向左右子節點的指標。
- 只要拎住根節點，就可以通過左右子節點的指標，把整棵樹都串起來。
- 這種儲存方式我們比較常用。大部分二叉樹程式碼都是通過這種結構來實現的。
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2.基於陣列的順序儲存
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如下圖所示，把根節點儲存在下標 i = 1 的位置，那左子節點儲存在下標 2 * i = 2 的位置，右子節點儲存在 2 * i + 1 = 3 的位置。
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以此類推， B 節點的左子節點儲存在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子節點儲存在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。
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如果節點 X 儲存在陣列中下標為 i 的位置，下標為 2 * i 的位置儲存的就是左子節點，下標為 2 * i + 1 的位置儲存的就是右子節點。
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反過來，下標為 i/2 的位置儲存就是它的父節點。
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通過這種方式，我們只要知道根節點儲存的位置（一般情況下，為了方便計運算元節點，根節點會儲存在下標為1的位置），這樣就可以通過下標計算，把整棵樹都串起來。
2.3。二叉樹的遍歷
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前序遍歷：對於樹中的任意節點來說，先列印這個節點，然後再列印它的左子樹，最後列印它的右子樹。
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中序遍歷：對於樹中的任意節點來說，先列印它的左子樹，然後再列印它本身，最後列印它的右子樹。
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後序遍歷：對於樹中的任意節點來說，先列印它的左子樹，然後再列印它的右子樹，最後列印這個節點本身。
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實際上，二叉樹的前、中、後序遍歷就是一個遞迴的過程。
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比如，前序遍歷，其實就是先列印根節點，然後再遞迴地列印左子樹，最後遞迴地列印右子樹。
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前序遍歷的遞推公式：preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)。
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中序遍歷的遞推公式：inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
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後序遍歷的遞推公式：postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
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從上面的前、中、後序遍歷的順序圖，可以看出來，每個節點最多會被訪問兩次，所以遍歷操作的時間複雜度，跟節點的個數 n 成正比，也就是說二叉樹遍歷的時間複雜度是 O(n)。
三、二叉查詢樹（Binary Search Tree）
- 二叉查詢樹是二叉樹中最常用的一種型別，也叫二叉搜尋樹。
- 二叉查詢樹是為了實現快速查詢而生的。
- 它不僅僅支援快速查詢一個資料，還支援快速插入、刪除一個資料。
- 二叉查詢樹要求，在樹中的任意一個節點，其左子樹中的每個節點的值，都要小於這個節點的值，而右子樹節點的值都大於這個節點的值。
- 二叉查詢樹最大的特點就是，支援動態資料集合的快速插入、刪除、查詢操作。
- 中序遍歷二叉查詢樹，可以輸出有序的資料序列，時間複雜度是 O(n)，非常高效。
-
3.1、二叉查詢樹的查詢操作
- 先取根節點，如果它等於要查詢的資料，就返回。
- 如果要查詢的資料比根節點的值小，那就在左子樹中遞迴查詢；
- 如果要查詢的資料比根節點的值大，那就在右子樹中遞迴查詢。
-
public class BinarySearchTree {
private Node tree;
public Node find(int data) {
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data < p.data) p = p.leftNode;
else if (data > p.data) p = p.rightNode;
else return p;
}
return null;
}
class Node {
private int data;
private Node leftNode;
private Node rightNode;
public Node(int data) {
this.data = data;
}
}
}
3.2、二叉查詢樹的插入操作
- 二叉查詢樹的插入過程有點類似查詢操作。
- 新插入的資料一般都是在葉子節點上，所以只需要從根節點開始，依次比較要插入的資料和節點的大小關係。
- 如果要插入的資料比節點的資料大，並且節點的右子樹為空，就將新資料直接插到右子節點的位置；
- 如果不為空，就再遞迴遍歷右子樹，查詢插入位置。
- 同理，如果要插入的資料比節點數值小，並且節點的左子樹為空，就將新資料插入到左子節點的位置；如果不為空，就再遞迴遍歷左子樹，查詢插入位置。
/**
* 插入操作
*
* @param data
* @return
*/
public Boolean insert(int data) {
if (tree == null) {
tree = new Node(data);
return true;
}
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data > p.data) {
// 插入右節點
if (p.rightNode == null) {
p.rightNode = new Node(data);
return true;
}
p = p.rightNode;
} else {
// 插入 左節點
if (p.leftNode == null) {
p.leftNode = new Node(data);
return true;
}
p = p.leftNode;
}
}
return false;
}
3.3、二叉查詢樹的刪除操作
- 針對要刪除節點的子節點個數的不同，需要分三種情況來處理。
- 第一種情況是，如果要刪除的節點沒有子節點
- 只需要直接將父節點中，指向要刪除節點的指標置為 null。
- 比如圖中的刪除節點 55。
- 第二種情況是，如果要刪除的節點只有一個子節點（只有左子節點或者右子節點）
- 只需要更新父節點中，指向要刪除節點的指標，讓它指向要刪除節點的子節點就可以了。
- 比如圖中的刪除節點 13。
- 第三種情況是，如果要刪除的節點有兩個子節點
- 需要找到這個節點的右子樹中的最小節點，把它替換到要刪除的節點上。
- 然後再刪除掉這個最小節點，因為最小節點肯定沒有左子節點（如果有左子結點，那就不是最小節點了）。
- 所以，可以應用上面兩條規則來刪除這個最小節點。比如圖中的刪除節點 18。
-
/**
* 刪除
* @param data
*/
public void delete(int data) {
// p指向要刪除的節點，初始化指向根節點
Node p = tree;
// pp記錄的是p的父節點
Node pp = null;
// 查詢要刪除的節點位置，及其父節點
while (p != null && p.data != data) {
pp = p;
if (data > p.data) {
p = p.rightNode;
} else {
p = p.leftNode;
}
}
if (p == null) {
return;// 沒有找到
}
// 要刪除的節點有兩個子節點
if (p.leftNode != null && p.rightNode != null) {
// 查詢右子樹中最小節點
Node minp = p.rightNode;
Node minpp = p; // minPP表示minP的父節點
while (minp.leftNode != null) {
minpp = minp;
minp = minp.leftNode;
}
// 將 minp 的資料替換到 p 中
p.data = minp.data;
// 下面就變成了刪除 minp 了
p = minp;
pp = minpp;
}
// 刪除節點是葉子節點或者僅有一個子節點
Node child; // p 的子節點
if (p.leftNode != null) {
child = p.leftNode;
} else if (p.rightNode != null) {
child = p.rightNode;
} else {
child = null;
}
if (pp == null) {
// 刪除的是根節點
tree = child;
} else if (pp.leftNode == p) {
pp.leftNode = child;
} else {
pp.rightNode = child;
}
}
- 實際上，關於二叉查詢樹的刪除操作，還有個非常簡單、取巧的方法，就是單純將要刪除的節點標記為“已刪除”，但是並不真正從樹中將這個節點去掉。
- 這樣原本刪除的節點還需要儲存在記憶體中，比較浪費記憶體空間，但是刪除操作就變得簡單了很多。
- 而且，這種處理方法也並沒有增加插入、查詢操作程式碼實現的難度。
3.4、支援重複資料的二叉查詢樹
- 上文提到的二叉查詢樹，預設樹中節點儲存的都是數字。很多時候，在二叉查詢樹中儲存的，是一個包含很多欄位的物件。
- 利用物件的某個欄位作為鍵值（key）來構建二叉查詢樹。把物件中的其他欄位叫作衛星資料。
- 前面講的二叉查詢樹的操作，針對的都是不存在鍵值相同的情況。
- 那如果儲存的兩個物件鍵值相同，解決方法如下：
-
第一種方法比較容易。二叉查詢樹中每一個節點不僅會儲存一個資料，因此通過連結串列和支援動態擴容的陣列等資料結構，把值相同的資料都儲存在同一個節
點上。 -
第二種方法是，每個節點仍然只儲存一個資料。
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在查詢插入位置的過程中，如果碰到一個節點的值，與要插入資料的值相同，就將這個要插入的資料放到這個節點的右子樹，也就是說，把這個新插入的資料當作大於這個節點的值來處理。
-
-
當要查詢資料的時候，遇到值相同的節點，並不停止查詢操作，而是繼續在右子樹中查詢，直到遇到葉子節點，才停止。這樣就可以把鍵值等於要查詢值的所有節點都找出來。
-
-
對於刪除操作，也需要先查詢到每個要刪除的節點，然後再按前面講的刪除操作的方法，依次刪除。
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-
3.5、二叉查詢樹的時間複雜度分析
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二叉查詢樹的形態各式各樣。如下圖所示，對於同一組資料，構造了三種二叉查詢樹。它們的查詢、插入、刪除操作的執行效率都是不一樣的。
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圖中第一種二叉查詢樹，根節點的左右子樹極度不平衡，已經退化成了連結串列，所以查詢的時間複雜度就變成了 O(n)。
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從前面的例子、圖，以及還有程式碼來看，不管操作是插入、刪除還是查詢， 時間複雜度其實都跟樹的高度成正比，也就是 O(height)。
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既然這樣，現在問題就轉變成另外一個了，也就是，如何求一棵包含 n 個節點的完全二叉樹的高度？
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樹的高度就等於最大層數減一，為了方便計算，轉換成層來表示。
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從圖中可以看出，包含 n 個節點的完全二叉樹中，第一層包含1個節點，第二層包含2個節點，第三層包含4個節點，依次類推，下面一層節點個數是上一層的 2 倍，第 K 層包含的節點個數就是 2^(K-1)。
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不過，對於完全二叉樹來說，最後一層的節點個數有點兒不遵守上面的規律了。它包含的節點個數在 1 個到 2^(L-1) 個之間（假設最大層數是L）。
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如果我們把每一層的節點個數加起來就是總的節點個數 n。也就是說，如果節點的個數是 n，那麼 n 滿足這樣一個關係：
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n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
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n <= 1+2+4+8+...+2(L-2)+2(L-1)
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藉助等比數列的求和公式，我們可以計算出，L 的範圍是 [log2(n+1), log2n +1]。完全二叉樹的層數小於等於 log2n +1，也就是說，完全二叉樹的高度小於等於 log2n。
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顯然，極度不平衡的二叉查詢樹，它的查詢效能肯定不能滿足需求。
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需要構建一種不管怎麼刪除、插入資料，在任何時候，都能保持任意節點左右子樹都比較平衡的二叉查詢樹，這就是平衡二叉查詢樹。
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平衡二叉查詢樹的高度接近 logn，所以插入、刪除、查詢操作的時間複雜度也比較穩定，是 O(logn)。
四、紅黑樹
- 二叉查詢樹是最常用的一種二叉樹，它支援快速插入、刪除、查詢操作，各個操作的時間複雜度跟樹的高度成正比，理想情況下，時間複雜度是 O(logn)。
- 不過，二叉查詢樹在頻繁的動態更新過程中，可能會出現樹的高度遠大於 log2n 的情況，從而導致各個操作的效率下降。
- 極端情況下，二叉樹會退化為連結串列，時間複雜度會退化到 O(n)。
- 要解決這個複雜度退化的問題，需要設計一種平衡二叉查詢樹，比如紅黑樹。
4.1、平衡二叉查詢樹
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平衡二叉樹的嚴格定義是這樣的：二叉樹中任意一個節點的左右子樹的高度相差不能大於 1。
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從這個定義來看，完全二叉樹、滿二叉樹其實都是平衡二叉樹，但是非完全二叉樹也有可能是平衡二叉樹。
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平衡二叉查詢樹不僅滿足上面平衡二叉樹的定義，還滿足二叉查詢樹的特點。
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最先被發明的平衡二叉查詢樹是 AVL 樹，它嚴格符合剛講到的平衡二叉查詢樹的定義，即任何節點的左右子樹高度相差不超過 1，是一種高度平衡的二叉查詢樹。
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但是很多平衡二叉查詢樹其實並沒有嚴格符合上面的定義（樹中任意一個節點的左右子樹的高度相差不能大於1），比如紅黑樹，它從根節點到各個葉子節點的最長路徑，有可能會比最短路徑大一倍。
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發明平衡二叉查詢樹這類資料結構的初衷是，解決普通二叉查詢樹在頻繁的插入、刪除等動態更新的情況下，出現時間複雜度退化的問題。
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所以， 平衡二叉查詢樹中“平衡”的意思，其實就是讓整棵樹左右看起來比較“對稱”、比較“平衡”，不要出現左子樹很高、右子樹很矮的情況。
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這樣就能讓整棵樹的高度相對來說低一些，相應的插入、刪除、查詢等操作的效率高一些。
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所以，如果現在設計一個新的平衡二叉查詢樹，只要樹的高度不比 log2n 大很多（比如樹的高度仍然是對數量級的），儘管它不符合嚴格的平衡二叉查詢樹的定義，但仍然可以說，這是一個合格的平衡二叉查詢樹。
4.2、紅黑樹
- 平衡二叉查詢樹其實有很多，比如， Splay Tree（伸展樹）、 Treap（樹堆）等，但是提到平衡二叉查詢樹，聽到的基本都是紅黑樹。
- 他的出鏡率甚至要高於“平衡二叉查詢樹”這幾個字，有時候，甚至預設平衡二叉查詢樹就是紅黑樹。
- 紅黑樹的英文是“Red-Black Tree”，簡稱R-B Tree。它是一種不嚴格的平衡二叉查詢樹，它的定義是不嚴格符合平衡二叉查詢樹的定義的。
- 顧名思義，紅黑樹中的節點，一類被標記為黑色，一類被標記為紅色。除此之外，一棵紅黑樹還需要滿足這樣幾個要求：
- 根節點是黑色的；
- 每個葉子節點都是黑色的空節點（NIL），也就是說，葉子節點不儲存資料；
- 任何相鄰的節點都不能同時為紅色，也就是說，紅色節點是被黑色節點隔開的；
- 每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點；
- 這裡的第二點要求“葉子節點都是黑色的空節點”，它主要是為了簡化紅黑樹的程式碼實現而設定的。
- 下圖中將黑色的、空的葉子節點都省略掉了。
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1.為什麼說紅黑樹是“近似平衡”的？
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平衡二叉查詢樹的初衷，是為了解決二叉查詢樹因為動態更新導致的效能退化問題。所以，“平衡”的意思可以等價為效能不退化。
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“近似平衡”就等價為效能不會退化的太嚴重。
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二叉查詢樹很多操作的效能都跟樹的高度成正比。
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一棵極其平衡的二叉樹（滿二叉樹或完全二叉樹）的高度大約是 log2n，所以如果要證明紅黑樹是近似平衡的，只需要分析，紅黑樹的高度是否比較穩定地趨近 log2n 就好了。
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如果將紅色節點從紅黑樹中去掉，那單純包含黑色節點的紅黑樹的高度是多少呢？
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紅色節點刪除之後，有些節點就沒有父節點了，它們會直接拿這些節點的祖父節點（父節點的父節點）作為父節點。所以，之前的二叉樹就變成了四叉樹。
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前面紅黑樹的定義裡有這麼一條：從任意節點到可達的葉子節點的每個路徑包含相同數目的黑色節點。
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從四叉樹中取出某些節點，放到葉節點位置，四叉樹就變成了完全二叉樹。所以，僅包含黑色節點的四叉樹的高度，比包含相同節點個數的完全二叉樹的高度還要小。
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完全二叉樹的高度近似 log2n，這裡的四叉“黑樹”的高度要低於完全二叉樹，所以去掉紅色節點的“黑樹”的高度也不會超過 log2n。
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現在知道只包含黑色節點的“黑樹”的高度，那我們現在把紅色節點加回去，高度會變成多少呢？
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從上面畫的紅黑樹的例子和定義看，在紅黑樹中，紅色節點不能相鄰，也就是說，有一個紅色節點就要至少有一個黑色節點，將它跟其他紅色節點隔開。
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紅黑樹中包含最多黑色節點的路徑不會超過l og2n，所以加入紅色節點之後，最長路徑不會超過 2log2n，也就是說，紅黑樹的高度近似 2log2n。
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所以，紅黑樹的高度只比高度平衡的AVL樹的高度（log2n）僅僅大了一倍，在效能上，下降得並不多。
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這樣推匯出來的結果不夠精確，實際上紅黑樹的效能更好。