一、哈夫曼樹
1.帶權擴充二叉樹的外部路徑長度
擴充二叉樹的外部路徑長度，即根到其葉子節點的路徑長度之和。
例如下面這兩種帶權擴充二叉樹：
左邊的二叉樹的外部路徑長度為：(2 + 3 + 6 + 9) * 2 = 38。
右邊的二叉樹的外部路徑長度為：9 + 6 * 2 + (2 + 3) * 3 = 36。
2.哈夫曼樹
哈夫曼樹（Huffman Tree）是一種重要的二叉樹，在資訊領域有重要的理論和實際價值。
設有實數集 W = {W0 ，W1 ，···，Wm-1 }，T 是一顆擴充二叉樹，其 m 個外部節點分別以 Wi (i = 1, 2, n - 1) 為權，而且 T 的帶權外部路徑長度在所有這樣的擴充二叉樹中達到最小，則稱 T 為資料集 W 的最優二叉樹或者哈夫曼樹。
二、哈夫曼演算法
1.基本概念
哈夫曼（D.A.Huffman）提出了一個演算法，它能從任意的實數集合構造出與之對應的哈夫曼樹。這個構造演算法描述如下：
- 演算法的輸入為實數集合 W = {W0 ，W1 ，···，Wm-1 }。
- 在構造中維護一個包含 k 個二叉樹集合的集合 F，開始時k = m 且 F = {T0 ，T1 ，···，Tm-1 }，其中每個 Ti 是一顆只包含權為 Wi 的根節點的二叉樹。
該演算法的構造過程中會重複執行以下兩個步驟，直到集合 F 中只剩下一棵樹為止：
- 構造一顆二叉樹，其左右子樹是從集合 F 中選取的兩顆權值最小的二叉樹，其根節點的權值設定為這兩顆子樹的根節點的權值之和。
- 將所選取的兩顆二叉樹從集合 F 中刪除，把新構造的二叉樹加入到集合 F 中。
注意：給定集合 W 上的哈夫曼樹並不唯一！
2.示例
對於實數集合 W = {2, 1, 3, 7, 8, 4, 5}，下面的圖1到圖7表示了從這個實數集合開始，構造一個哈夫曼樹的過程：
圖1：
圖2：
圖3：
圖4：
圖5：
圖6：
圖7：
三、哈夫曼演算法的實現
1.實現思路
要實現哈夫曼演算法，需要維護一組二叉樹，而且要知道每顆二叉樹的根節點的權值 ，這個可以使用前面定義的二叉樹的節點來構造哈夫曼樹，只需要在根節點處記錄該樹的權值。而在執行演算法時
在演算法開始時，需要根據傳入的實數集和來建立一組單節點的二叉樹，並以權值作為其優先順序存入一個優先順序佇列之中，在之後的過程中反覆執行以下兩步，直至佇列中只有一顆二叉樹：
1）從該優先順序佇列中取出兩顆權值最小的二叉樹；
2）建立一顆新的二叉樹，其權值為選出的兩棵樹的權值之和，其左右子樹分別為選出的兩顆樹，並將建立好的二叉樹加入到優先順序佇列中。
當整個優先順序佇列中只剩下一顆二叉樹的時候，就得到我們需要的哈夫曼樹了。
2.實現程式碼
首先是要對哈夫曼樹的節點進行定義，主要是增加一個權值，定義哈夫曼樹節點的程式碼如下：
1 # 哈夫曼樹節點 2 class HNode(Node): 3 def __init__(self, value=None, left=None, right=None, weight=None): 4 super(HNode, self).__init__() 5 self.value = value 6 self.left = left 7 self.right = right 8 self.weight = weight
然後還需要一個優先順序的佇列，在我前面寫過的一篇佇列的部落格中有提到，只不過那篇部落格裡的優先順序佇列用的是一個最大堆，而在這裡需要用最小堆，這樣每次才能取出權值最小的樹。
最後，下面就是實現哈夫曼演算法的主要程式碼了：
1 def create(weights: list): 2 """ 3 根據傳入的權值列表建立一個哈夫曼樹 4 :param weights: 實數集合 5 """ 6 queue = PriorityQueue() 7 # 將節點新增到優先順序佇列中 8 for weight in weights: 9 node = HNode(weight=weight) 10 queue.enqueue(node, weight) 11 while queue.size() > 1: 12 node1 = queue.dequeue() 13 node2 = queue.dequeue() 14 new_node = HNode(left=node1, right=node2, weight=node1.weight + node2.weight) 15 queue.enqueue(new_node, new_node.weight) 16 return queue.dequeue()
四、哈夫曼編碼問題
1.問題描述
最優編碼問題，給定兩個集合 C 和 W，C 為基本資料集合，W 為 C 中各個字元在實際資訊傳遞中使用的頻率，要求設定一套編碼規則，要求： 1）使用這種編碼規則的開銷最小； 2）對任意一對不同字元 Ci 和 Cj，要求 Ci 的編碼不是 Cj 編碼的字首。
2.問題分析
使用哈夫曼演算法構建一顆哈夫曼樹，這棵樹的葉子節點的數量和字元數量一致，葉子節點的值就是字元的值，葉子節點的權值就是該字元對應的使用頻率。然後從根節點開始遍歷，往左子樹遍歷時標記為0，往右子樹遍歷時標記為1，這樣就能保證走到葉子節點時所標記的路徑結果是不一樣的了，最後將每個葉子節點的值和對應的標記結果返回，就是題目所求的最優編碼。
例如輸入的資料為：{"A": 2, "b": 3, "c": 5, "d": 6, "e": 9} 。
則構造出來的哈夫曼樹如下圖：
最後得到的編碼為：{"A": "000", "b": "001", "c": "01", "d": "10", "e": "11"}
3.程式碼實現
下面就是使用哈夫曼演算法來求解編碼問題的主要程式碼了：
1 from Tree.tree import Node 2 from Queue.queue import PriorityQueue 3 4 5 # 哈夫曼樹節點 6 class HNode(Node): 7 def __init__(self, value=None, left=None, right=None, weight=None): 8 super(HNode, self).__init__() 9 self.value = value 10 self.left = left 11 self.right = right 12 self.weight = weight 13 14 15 # 自定義哈夫曼樹 16 class HuffmanTree: 17 def __init__(self): 18 self.root = HNode() 19 self.code = {} 20 21 def get_leaves(self, node: HNode, code: str): 22 """ 23 獲取所有葉節點，對樹中的分支節點向左子節點的路徑標記為0，向右子節點的路徑標記為1 24 :param node: 哈夫曼樹的節點 25 :param code: 字元使用的編碼 26 :return: 27 """ 28 if not node: 29 return 30 code_ = code # 因為要分別向左向右探索路徑，所以需要複製一份 31 if node.left: 32 code += "0" 33 self.get_leaves(node.left, code) 34 if node.right: 35 code_ += "1" 36 self.get_leaves(node.right, code_) 37 # 沒有左右子節點，表明是葉子節點 38 if not node.left and not node.right: 39 self.code[node.value] = code 40 41 def create(self, char_data: dict): 42 """ 43 根據傳入的權值列表建立一個哈夫曼樹 44 :param char_data: 字元和其對應頻率的字典 45 """ 46 queue = PriorityQueue() 47 # 將節點新增到優先順序佇列中 48 for char, weight in char_data.items(): 49 node = HNode(value=char, weight=weight) 50 queue.enqueue(node, weight) 51 while queue.size() > 1: 52 node1 = queue.dequeue() 53 node2 = queue.dequeue() 54 new_node = HNode(left=node1, right=node2, weight=node1.weight + node2.weight) 55 queue.enqueue(new_node, new_node.weight) 56 self.root = queue.dequeue() 57 58 59 def solution(char_data: dict): 60 """ 61 解決哈夫曼編碼問題 62 :param char_data: 字元和其對應頻率的字典 63 :return: 64 """ 65 tree = HuffmanTree() 66 tree.create(char_data) 67 tree.get_leaves(tree.root, "") 68 return tree.code