瓶頸
如何理解樹狀陣列？
這個結構的思想和線段樹有些類似：用一個大節點表示一些小節點的資訊，進行查詢的時候只需要查詢一些大節點而不是更多的小節點。
最下面的八個方塊就代表存入 a 中的八個數，現在都是十進位制。
他們上面的參差不齊的剩下的方塊就代表 a 的上級—— c 陣列。
很顯然看出： c2 管理的是 a1 & a2 ； c4 管理的是 a1 & a2 & a3 & a4 ； c6 管理的是 a5 & a6 ；c8 則管理全部 8 個數。
所以，如果你要算區間和的話，比如說要算 a51 ~ a91 的區間和，暴力算當然可以，那上百萬的數，那就 TLE 嘍。
——————摘自oi-wiki.org
初看這些文字，你可能會想：
“啊這這這？？？你講這些我們怎麼聽得懂啊，這樹狀陣列是啥，咋用，我們還是懵的啊”
當然，為了解決問題而書寫演算法的話，我們不需要去理解這個結構的原理到底是啥，我們只需要知道這個東西
用在哪？
怎麼用？
就足夠了
用在哪？
我們都知道：
一般的普通陣列單點操作的時間複雜度的O(1)、區間操作的時間複雜度是O(n)。
而我們樹狀陣列的和普通陣列的區別就在於：
單點操作和區間操作的時間複雜度都是O(log n)，而且
單點修改和區間操作（加、求和）都需要用函式實現。
那麼這麼說我們大概能理解一點了，那就是：
一旦遇到大規模使用區間求和的問題，我們就可以考慮使用樹狀陣列。
怎麼用？
總得來說就是三個函式：lowbit、新增函式，求和函式
lowbit
int lowbit(int x) {
/*
算出x二進位制的從右往左出現第一個1以及這個1之後的那些0組成數的二進位制對應的十進位制的數
簡單說就是用位運算改變了查詢操作，以契合上述的時間複雜度
*/
return x & -x;
}
單點修改
void add(int x, int k) { //在i位置加上k
while (x <= n) { // 不能越界
c[x] = c[x] + k;
x = x + lowbit(x);
}
}
區間求和
int sum(int x) { // 返回a[1]……a[x]的和
int ans = 0;
while (x >= 1) {
ans = ans + c[x];
x = x - lowbit(x);
}
return ans;
}
就這？？就這？？
啊啊，看似就這，那我們來找一道模板題做一做，深化一下理解吧。
例題：Acwing 788 逆序對的數量
題面
給定一個長度為n的整數數列，請你計算數列中的逆序對的數量。
逆序對的定義如下：對於數列的第 i 個和第 j 個元素，如果滿足 i < j 且 a[i] > a[j]，則其為一個逆序對；否則不是。
輸入
第一行包含整數n，表示數列的長度。
第二行包含 n 個整數，表示整個數列。
輸出
輸出一個整數，表示逆序對的個數。
PS： 1≤n≤1000001≤n≤100000
輸入樣例：
6
2 3 4 5 6 1
輸出樣例：
5
解題過程
“逆序對”的計算需要用到大量的區間運算，在這個時候我們的樹狀陣列就發揮了很大的用處了，
對於這道題的核心思想，即是：
用陣列的值作為下標，每次出現逆序對則給該下標對應值加一，最後求和
程式碼如下
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 100010; int n; int a[N]; int tr[N]; int lowbit(int x) { return x & -x; } void add(int x, int k) { for (int i = x; i < N - 1; i += lowbit(i)) tr[i] += k; } LL sum(int x) { LL res = 0; for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i]; return res; } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]); LL ans = 0; for (int i = n - 1; i >= 0; i --) {//倒序讀入 int t = a[i];//讀入的值作為下標 ans += sum(t - 1);//若比a[i]小的值在其之前被讀入,即出現了逆序對 add(t, 1);//記錄逆序對 } printf("%lld\n", ans); return 0; }
emmm，樣例過了，提交！
誒怎麼wa了，還是段錯誤？
看了看測試資料，原來是我們將資料當作下標，而資料的大小超過了陣列大小的限制，而且也造成了空間的冗餘，這個時候，我們想到一個方法：
離散化
離散化，即是將物件之間的關係模糊化，在不改變資料相對大小的條件下，對資料進行相應的縮小。
什麼意思呢？
比如說：
在｛ 1、 2、 99999、 3 ｝之間判斷逆序對和在｛ 1、 2、 4、 3｝之間判斷逆序對在基本流程上無差別，而如果不進行離散化，則花費了99999個空間，為了節省空間，也為了消除陣列越界的風險，我們使用離散化優化一下程式碼。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 100010; int n; int a[N], backup[N];//backup即是離散化之後的序列 LL tr[N]; int lowbit(int x) { return x & -x; } void add(int x, int k) { for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k; } LL sum(int x) { LL res = 0; for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i]; return res; } int find(int k) {//查詢（利用了二分的思想） int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (backup[mid] <= k) l = mid; else r = mid - 1; } return r + 1; } //排好序儲存進來的序列，其每個元素的對應下標就是其離散化之後的“大小” int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]); memcpy(backup, a, sizeof a); sort(backup, backup + n);//進行排序 LL ans = 0; for (int i = n - 1; i >= 0; i --) { int t = find(a[i]); ans += sum(t - 1); add(t, 1); } printf("%lld\n", ans); return 0; }
最後，我們得到了AC！！！
希望我的拋磚引玉能引起更多的思考！ ? （蒟蒻鞠躬）。