樹狀陣列

樹狀陣列：用線性資料結構的方法解決動態統計子樹權和的問題。

類似於線段樹，將區間分成小段，方便計算權和。

舉個栗子，將a陣列構造成樹狀陣列c。

如果a陣列中共有8個元素a[1]~a[8]，注意這裡陣列的下標要從1開始，那麼:

 c[1]=a[1]

 c[2]=a[1]+a[2]

 c[3]=a[3]

 c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

 c[5]=a[5]

 c[6]=a[5]+a[6]

 c[7]=a[7]

 c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]

下面說一下為什麼c陣列是這樣的，還有對c陣列的一些操作。

一、c陣列的來歷

線段樹是直接遞迴二分來劃分，而樹狀陣列需要通過lowbit(i)這個函式來確定劃分範圍。

int lowbit(int x)//計算二進位制數x右方的第一位1對應的權
{
    return x&(-x);
}

①c[k]儲存從a[k]開始向前數lowbit(k)個元素之和，即c[k]=a[k]+a[k-1]+a[k-2]+...+a[i-(2^k)+1]。

②lowbit(k)=k&(-k)，在二進位制中，-k是取反加1，這個函式是求整數k的二進位制表示中右邊第一個1在二進位制中代表的權值。

例如：

#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int main()
{
    char str[25];
    int i;
    for(i=1; i<=10; ++i)
    {
        itoa(i,str,2);
        cout<<"i="<<i<<"  "<<(i&-i)<<" 二進位制 "<<str<<endl;
    }
    return 0;
}

由圖，可以得到i對應的lowbit(i)值。

所以:

當i=1時，lowbit(1)=1，c[1]=a[1]；

當i=2時，lowbit(2)=2，c[2]=a[2]+a[1]，c[2]由a[2]及其之前共計lowbit(2)=2個數相加得到；

當i=3時，lowbit(3)=1，c[3]=a[3]；

當i=4時，lowbit(4)=4，c[4]=a[4]+a[3]+a[2]+a[1],c[4]由a[4]及其之前共計lowbit(4)=4個數相加得到；

………………………………

下面依次類推，所以就得到上面c陣列的各個值。

二、調整整棵子樹

從c[i]依次調整這棵子樹，陣列下標是i+=lowbit(i)

舉個栗子：當改變a[4]的值的時候，c[4]與a[4]、a[3]、a[2]、a[1]都有關，這四個都要改變權值，

那麼計算出4、3、2、1這四個陣列下標的公式就是i+=lowbit(i)。

例如如下程式碼：

void change(int x)//x是a陣列的下標
{
    int i;
    if(條件滿足)
        for(i=x; i<cnt; i+=lowbit(i))//調整a[x]這一棵子樹
            c[i]改變;
}

三、計運算元樹權值之和

與上面的情況類似，依次找出這個節點相關的所有節點，即相應的陣列下標，再累加起來就是權值之和。

例如如下程式碼：

int sum(int x)//計算節點x子樹權值之和
{
    int i,res=0;//res是權值和
    for(i=x; i>0; i-=lowbit(i))
        res+=c[i];
    return res;
}

四、二維樹狀陣列

和一維的樹狀陣列一樣，就是更新和查詢稍微作出一點改變。可以看一下模板入門題（傳送門→）：POJ 1195

更新和查詢的程式碼改變如下：

void update(int x,int y,int num)
{
    int i,j;
    for(i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
        for(j=y; j<=n; j+=lowbit(j))
            c[i][j]+=num;
}
int sum(int x,int y)
{
    int i,j,res=0;
    for(i=x; i>0; i-=lowbit(i))
        for(j=y; j>0; j-=lowbit(j))
            res+=c[i][j];
    return res;
}

        以上就是我自己學習了一上午之後對樹狀陣列的粗鄙的認識，下面貼一道入門題POJ 3321-Apple Tree（←這裡是傳送門），希望這道題對理解樹狀陣列有很好的幫助。