二維樹狀陣列

彬彬冰激凌發表於2024-03-12
陣列

二維樹狀陣列

模板

單點修改，子矩陣查詢

暴力的把一維擴充到二維，直接然後按照一維的方法搞就OK，參考程式碼：

void insert(int x,int y,int z)
{
     for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)) d[i][j]+=z;
}
int getsum(int x,int y)
{
    int sum=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
        sum+=d[i][j];
    return sum;
}

二維差分

類似於一維的差分，我們可以得出：

\[d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1] \]

子矩陣加，求子矩陣和

修改操作可以類似的轉化為差分陣列的 \(4\) 個單點修改。

區間查詢需要稍微推一下式子：

\[\sum\limits_{i=1}^x\sum\limits_{j=1}^y\sum\limits_{h=1}^i\sum\limits_{k=1}^j d[h][k] \]

這裡考慮一下 \(d[h][k]\) 出現的次數。

顯然有 \(d[h][k]\) 出現了 \((x-h+1)\times (y-k+1)\) 次。

然後，有：

\[\begin{aligned} & \sum\limits_{i=1}^x\sum\limits_{j=1}^y\sum\limits_{h=1}^i\sum\limits_{k=1}^j d[h][k]\\ & =\sum\limits_{i=1}^x\sum\limits_{j=1}^y d[i][j]\times (x-i+1)\times (y-j+1)\\ & =\sum\limits_{i=1}^x\sum\limits_{j=1}^y d[i][j]\times (xy+x+y+1)-d[i][j]\times i\times (y+1) -d[i][j]\times j\times (x+1) +d[i][j]\times i\times j \end{aligned} \]

所以分別維護 \(d[i][j]\)、\(d[i][j]\times i\)、\(d[i][j]\times j\)、\(d[i][j]\times i\times j\) 的樹狀陣列。

例題

P4514 上帝造題的七分鐘

板子題。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2050;

int n,m;

struct treearray
{
    int d[maxn][maxn],di[maxn][maxn],dj[maxn][maxn],dij[maxn][maxn];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void insert(int x,int y,int z)
    {
        for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
        {
            d[i][j]+=z;
            di[i][j]+=z*x;
            dj[i][j]+=z*y;
            dij[i][j]+=z*x*y;
        }
    }
    int getsum(int x,int y)
    {
        int sum=0;
        for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
            sum+=d[i][j]*(x+1)*(y+1)-di[i][j]*(y+1)-dj[i][j]*(x+1)+dij[i][j];
        return sum;
    }
}T;

void add(int a,int b,int c,int d,int z)
{
    T.insert(a,b,z);
    T.insert(a,d+1,-z);
    T.insert(c+1,b,-z);
    T.insert(c+1,d+1,z);
}
int qry(int a,int b,int c,int d)
{
    return T.getsum(c,d)-T.getsum(a-1,d)-T.getsum(c,b-1)+T.getsum(a-1,b-1);
}

int main()
{
    char op[10];
    cin>>op;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(scanf("%s",op)!=EOF)
    {
        int a,b,c,d;
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        if(op[0]=='L')
        {
            int z;
            scanf("%d",&z);
            add(a,b,c,d,z);
        }
        else printf("%d\n",qry(a,b,c,d));
    }
}

P4054 JSOI2009 計數問題

單點修改的板子題，可以有效區分割槽間修改的題目。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=303;

int n,m;

struct treearray
{
    short d[maxn][maxn];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void insert(int x,int y,int z)
    {
        for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)) d[i][j]+=z;
    }
    int getsum(int x,int y)
    {
        int sum=0;
        for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
            sum+=d[i][j];
        return sum;
    }
    void add(int xa,int ya,int xb,int yb,int z){insert(xa,ya,z);}
    int qry(int xa,int ya,int xb,int yb)
    {
        return getsum(xb,yb)-getsum(xa-1,yb)-getsum(xb,ya-1)+getsum(xa-1,ya-1);
    }
}col[105];

int mp[maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        mp[i][j]=x;
        col[x].add(i,j,i,j,1);
    }
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        int op,xa,ya,xb,yb,c;
        scanf("%d",&op);
        if(op==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&xa,&ya,&c);
            col[mp[xa][ya]].add(xa,ya,xa,ya,-1);
            col[c].add(xa,ya,xa,ya,1);
            mp[xa][ya]=c;
        }
        else
        {
            scanf("%d%d%d%d%d",&xa,&xb,&ya,&yb,&c);
            printf("%d\n",col[c].qry(xa,ya,xb,yb));
        }
    }
}

先咕著，做了後面的題再更。

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