引入
已知一個數列，你需要進行下面兩種操作：
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將某一個數加上 xx （修改）
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求出某區間每一個數的和 （查詢）
如何解決這個問題呢？
如果直接使用陣列來做，那麼修改操作複雜度是 \(O(1)\) ,查詢複雜度是 \(O(N)\).
而如果使用字首和陣列來做，那麼修改操作複雜度是 \(O(N)\) ,查詢複雜度是 \(O(1)\).
上面兩種方法的總複雜度都是 \(O(N)\)
那麼有沒有更快的方法呢？有，樹狀陣列便是一種解決方法，它的複雜度是 \(O(logN)\) （在後面我們會說明為什麼）
原理
樹狀陣列，是基於二進位制的數位的特性的資料結構。所謂的特性指的是什麼呢？簡單地說就是可以逐位拆解出 \(1\) ,直到整個串被如此表示。
舉個例子：給出一個二進位制串 \(100101\) ，它可以被分解為 \(100000+100+1\) 。
這樣便為求字首和提供了一條道路：按照拆出來的數分塊求字首和。
比如說要求陣列前 \(12\) 個元素的和，利用 \(12_{(10)}=1100_{(2)}=1000_{(2)}+100_{(2)}=8_{(10)}+4_{(10)}\) 。
先求出後 \(4\) 個元素的和（即 \(9-12\) ），再求出除了這 \(4\) 個元素之外後 \(8\) 個元素的和（即 \(1-8\) ）再把它們加起來即可。
這樣我們便解決了求字首和（查詢）操作。
講到這裡，我想引入這張圖片幫助理解：（我們記 \(x\) 所對應的區間為 c[x]）這張圖完美地解釋了 \(x\) 能夠維護 \(lowbit(x)\) 個元素 （ \(lowbit(x)\) 指 \(x\) 在二進位制下最後一個 \(1\) 以及它後面所有的 \(0\) 構成的二進位制串所對應的數，比如說 \(lowbit(6)=lowbit(110_{(2)})=10_{(2)}=2\) ）
下面來講講更新操作：
核心問題便是：一個數改變了，需要改變什麼相關的區間？
答案是：改變維護的區間包括這個數的區間，還是舉例來說，如果 a[9] 改變了，由上圖可以看出，c[9],c[10],c[12]（ \(12\) 之後的不考慮 ）均要改變。事實上，c[x]上面的區間是c[x+lowbit(x)] （比如 \(9_{(10)}=1001_{(2)}\) 於是 \(9\) 上面一層區間便是\(1001_{(2)}+lowbit(1001_{(2)})=1010_{(2)}=10_{(10)})\) 依次類推）。
這樣我們便知道如何更新了。
程式碼實現
//修改 p指的是當前位置，k指的是加上k（如果tree[p]=k則是修改為k）
void modify(int p,int k){
for(;p<=n;p+=lowbit(p)) tree[p]+=k;
}
//查詢
int query(int p){
int res=0;
for(;p;p-=lowbit(p)) res+=tree[p];
return res;
}
複雜度分析
結合程式碼，複雜度分析可以更便於理解：
以查詢為例，複雜度無疑取決於那個for迴圈會執行多少次。根據lowbit的定義，
即使p所對應的二進位制串都是 \(1\),也不過是迴圈 \(1\) 的個數次。
具體地說，\(N=111...111_{(2)}\)（有 \(x\) 個 \(1\) ），而 \(N\) 可以近似看成是 \(2^x\) ,故迴圈的次數為 \(x=logN\),
故對應的複雜度是 \(O(logN)\) 。
類似的，修改的操作亦然。