理解之後挺簡單的。開始比較抽象，理解後比較簡單，不如直接看程式碼。
樹狀陣列是一個兼顧修改和查詢的資料結構。一般可以支援，\(O(\log n)\) 的區間查詢和單點修改。如果原陣列為差分陣列，可以實現區間修改單點查詢。
因為常數小，在某些情況下比較好用，但一般它能做到的，線段樹都能做到。
中心思想
關於樹狀陣列的一切因為涉及 lowbit 比較抽象。
核心就是 \(tr\) 陣列，\(tr[i]\) 陣列代表原陣列 \(a\) 以 \(i\) 為結尾長度為 \(\operatorname {lowbit}(i)\) 的下標區間和，也就是
\(a[i - \operatorname {lowbit}(i) + 1, i]\)。
我們實質上是把這個陣列拆分成了一個樹，但計算原理執行上和樹沒什麼關係。只是呈樹形關係。關於原理見這篇文章 讓你頓悟樹狀陣列原理與由來 - 知乎 (zhihu.com)
查詢
我們知道一個數有二進位制的形式，如 \(11 = 1011\)。如果我們求原陣列下標 \([1, 11]\) 的和，可以把這個區間拆分，把每個拆分割槽間提前算出來，相當於預處理的方式，減少時間複雜度。
樹狀陣列就是按照 tr 陣列的形式來拆分了區間，像 \([1, 11]\) 就可以用（二進位制下）\(tr[1011],tr[1010],tr[1000]\) 這三個給湊出來，比起原來相加了 11 次，這隻加了 3 次，大大最佳化了時間。
對於一個區間可以不斷先加上 \(tr[\operatorname {lowbit}(i)]\)，再把 i 減去 lowbit(i)，這樣湊出。如 11 = 1011，有以下關係：
而 \(tr[1011],tr[1010],tr[1000]\) 恰好為 \(tr[11],tr[11- \operatorname {lowbit}(11)] =tr[10],tr[10 -\operatorname {lowbit}(10)] = tr[8]\) 恰好符合上面的執行過程。
如果想求任意區間，方法和字首和求區間方式一樣。
int sum(int x) // 求出為第1 - x的和 sum/query
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
return res;
}
關係
\(tr\) 陣列之間有關係，即一個數不斷相加當前的 lowbit 就可以找到所有包含它的 tr 陣列，即它可以影響的陣列，即父節點；同理透過不斷減當前的 lowbit 就可以所有找到影響它的 tr 陣列，即子節點。這個關係也就是稱為樹狀陣列的原因。
證明待補。自己想想也簡單。
修改
如果第 i 個數加上了 k，那麼所有包含 i 的 tr 都應該加上 k，可寫出。
void add(int x, int k) // 讓第i個數加上k
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k;
}
求出 tr 陣列
我們求出的方式以 \(tr[10100]\) 舉例
tr[10100] = [10001,10100]
10011 = 10100 - 1
10010 = 10011 - lowbit(10011) = 10011 - 1
10010 - lowbit(10010) = 10010 - 10 = 10000 不屬於 [10001,10100]
tr[10011] = [10011,10011]
tr[10010] = [10001,10010]
tr[10100] =
a[10100] + tr[10011] + tr[10010]
可以發現就是在不超過 \([10100 - lowbit(10100) + 1, 10100]\) 範圍內，原陣列的本身加上它本身 - 1 不斷減 lowbit 的 tr 之和。
程式碼如此
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) tr[i] = a[i]; // 先賦值a[i]
for (int x = 1; x <= n; x ++ )
for (int i = x - 1; i >= x - lowbit(x) + 1; i -= lowbit(i)) tr[x] += tr[i];
程式碼
初始化
// 初始化
int a[], tr[], sum[]; // a[]原陣列 tr[]樹狀陣列 sum[]字首和
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void add(int x, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i + lowbit(i)) tr[i] += k;
}
// (1) O(nlogn) 常用 使用修改的方式
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) add(i, a[i]);
// (2) O(n) 根據邊
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) tr[i] = a[i]; // 先賦值a[i]
for (int x = 1; x <= n; x ++ )
for (int i = x - 1; i >= x - lowbit(x) + 1; i -= lowbit(i)) tr[x] += tr[i];
// (3) O(n) 根據原理
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) tr[i] = sum[i] - sum[i - lowbit(i)];
修改/查詢
void add(int x, int k) // 讓第x個數加上k
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k;
}
int sum(int x) // 求出為第1 - x的和
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
return res;
}
應用
特殊的應用，比如支援區間修改 + 區間查詢。這個的常數是對應線段樹的四分之一。
![[Pasted image 20241125081846.png|303]]
差分 + 樹狀陣列可以把區間修改最佳化到O(logn)
區間和 \(= a[i] + a[i + 1] + … + a[x] = b[1 … i] + b[1 … i + 1] + … b[1 … x]\) 最後可以把區間求和最佳化到 \(O(logn)\)。
如這題 P11217 【MX-S4-T1】「yyOI R2」youyou 的垃圾桶 - 洛谷 | 電腦科學教育新生態 (luogu.com.cn) 如果使用線段樹的話 \(O(q {\log ^2 n})\) 一定過不了，而用樹狀陣列就可以。線段樹需要 \(O(q\log n)\) 並且常數要小。
程式碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL ;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N];
LL tr1[N]; // b[i] 的字首和
LL tr2[N]; // b[i] * i 的字首和
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void add(LL tr[], int x, LL k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k;
}
LL sum(LL tr[], int x)
{
LL res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
return res;
}
LL p_sum(int x)
{
return sum(tr1, x) * (x + 1) - sum(tr2, x);
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int b = a[i] - a[i - 1];
add(tr1, i, b);
add(tr2, i, (LL)b * i);
}
while (m -- )
{
int l, r, d;
char op[2];
scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
if (op[0] == 'C')
{
scanf("%d", &d);
add(tr1, l, d), add(tr2, l, l * d);
add(tr1, r + 1, -d), add(tr2, r + 1, (r + 1) * -d);
}
else printf("%lld\n", p_sum(r) - p_sum(l - 1));
}
return 0;
}