BEST 定理：計算有向圖的尤拉回路數量
尤拉圖 \(G\) 的尤拉回路個數為 \(T_s(G)\prod(out_i-1)!\)，其中 \(T_s(G)\) 代表以 \(s\) 為根的內向樹個數，\(out_i\) 代表點 \(i\) 的出度。同時由此可見，對於一個尤拉圖，其任意一個點為根的內向樹個數相同。
證明：
除去點 \(s\)，考慮其它點在尤拉回路上的最後一條出邊 \(e\)，它們一定形成一棵以 \(s\) 為根的內向樹，因為如果有環，那麼顯然與所有邊都最後一次出現矛盾。然後將所有點其餘的出邊按隨意順序排列，方案數為 \(out_s!\prod\limits_{i\neq s}(out_i-1)!\)，發現每種排法可以唯一對應一種尤拉回路，每種尤拉回路也能唯一找到一棵這樣的生成樹。但是注意這樣的排法中每 \(out_s\) 條路徑是迴圈同構的，要除掉，於是答案即為 \(T_s(G)\prod(out_i-1)!\)。
矩陣樹定理的證明
這裡只寫有向圖內向樹的證明，其餘兩者類似。
寫一下式子：\(\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\sum\limits a_{i,p_i}\)。
考慮組合意義：對於一個排列 \(p\)，如果 \(i\neq p_i\)，那麼視為選擇了一條 \(i\rightarrow p_i\) 的一條一類邊，係數為 \(-1\)；否則視為選擇了任意一條 \(i\rightarrow j\) 的邊，係數為 \(1\)（由於有 \(deg_i\) 種方案所以符合式子）。
可以發現所有 \(-1\) 邊形成若干個環，所有 \(1\) 邊形成若干個環和一棵以 \(1\) 為根的內向樹。
我們不希望圖中能存在環，於是考慮將某個 \(-1\) 環的貢獻和對應的 \(1\) 環的貢獻抵消掉。設其環長為 \(l\)，則給它一個 \((-1)^{(l-1)}\) 的係數，發現就能順利抵消了。
於是我們只需要證明：所有非自環的 \((l-1)\) 之和的奇偶性與 \(\tau(p)\) 的奇偶性相同。
注意對於一個環，交換任意兩個元素後變成兩個環，\(\sum(l-1)\) 減少 \(1\)；對於排列，交換任意兩個數後逆序對的奇偶性改變。
於是可以一直交換，直到最後變成環都是自環，排列為 \(1\sim n\)，得證。