簡介
斐波那契數列是指的這樣的一個數列，從第3項開始，以後每一項都等於前兩項之和。寫成遞推公式即：
\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)
\]
假設令\(a_1=1,a_2=1\)，則斐波那契數列指的是這樣的一串數：\({1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...}\)。接下來，文章提到斐波那契數列特指\(a_1=1,a_2=1\)的這串數。
斐波那契數列的通項公式及證明
通項公式
斐波那契數列的通項公式非常對稱：
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]
\]
可以發現，斐波那契數列都是整數，但斐波那契數列的通項公式確是由無理數拼湊而來的。那麼接下來，我們就來看看如何證明（求解）
證明
引入
首先，我們來看看這樣的一個題目：
已知\(a_n=k \times a_{n-1}+b(n \le 2)\)，求該數列的通項公式（用含有\(k,b,a_1\)的式子表示）
這不是一道原題，是我將題目中的數字用字母代替得到的。
閒話少說，我們來看看這要怎麼做。
首先，我們要回到兩種最基本的數列：等差數列和等比數列。
這兩個數列的通項公式分別是：
\[a_n=a_1+(n-1) \times d (d為公差)
\]
\[a_n=r^{n-1} \times a_1 (r為公比)
\]
知道了這兩個公式，我們便要懂得轉化。
可以看到
\(~~~\)當\(k=0\)時，該數列是一個常數列，通項公式為\(a_n=a_1\)
\(~~~\)當\(k=1\)時，該數列是一個等差數列，通項公式為\(a_n=a_1+b \times (n-1)\)
\(~~~\)當\(k>1\)時，就是我們要討論的重點。
\(~~~~~~\)首先，我們考慮能不能把他化為等差數列，然而，很顯然不行。
\(~~~~~~\)那麼，就考慮等比數列，我們把常數項\(b\)裂解，使之構成這樣的一個式子：
\[a_n+t=k(a_{n-1}+b-t)
\]
\(~~~~~~\)可以通過解方程算出\(t\)的值，於是原式便變成了一個等比數列，運用等比數列的通項公式，然後移項，數列\(\{a_n\}\)的通項公式也就求出來了。
\(Ps.\)這種方法在高中必修五會重點講到，這種計算數列通項公式的演算法就叫裂項構造法，後面的篇幅講重點講高中不會涉及的二階遞推式的通項公式的求法。
正題
斐波那契數列的遞推公式為
\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)
\]
同樣考慮裂項可設
\[a_n-\lambda a_{n-1}=\mu (a_{n-1}-\lambda a_{n-2})
\]
移項後，使係數相同，得到：
\[\left\{\begin{matrix}
\lambda + \mu = 1\\
-\lambda \times \mu =1
\end{matrix}\right.\]
解得
\[\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\text{或}\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\]
將其帶回到原式可得到
\[\left\{\begin{matrix}
a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2})\\
a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2})
\end{matrix}\right.\]
可以發現\(\{a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n\}\)已經構成了一個等比數列，然後根據等比數列通項公式，我們可以得到：
\[\left\{\begin{matrix}
a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_1)---------1.\\
a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_1)---------2.
\end{matrix}\right.\]
然後：
\[2. \times \frac{1-\sqrt{5}}{2}-1.\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
化簡得
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]
\]
得證！！！
完結散花(o)/~ O(∩_∩)O哈哈~
總結
通過遞推公式計算通項公式的思想就是，將數列化為我們能夠處理的數列，這種思想在我們平時的學習中也會運用到。
最後，請思考，如果上面求出的\(\lambda\)=\(\mu\)，我們要怎麼處理呢？
歡迎在評論區留言。
我會在這一篇博文重點講解(\(Ps.\)由於我還沒有寫，寫完了我會補上去。)