二叉平衡樹（BST）
BST 是一種資料結構，用於快速查詢資料。
二叉平衡樹有一個非常明顯的特性：對於每一個節點 \(u\)，在其左邊的數都比它小，在其右邊待數都比它大。
每個點都有一個權值 cnt，用於儲存這個數出現了幾次。
在二叉平衡樹上的每一個操作的時間與其樹高成正比，約為 \(O(\log n)\)。
BST的基本操作
插入
根據二叉平衡樹的性質，新加入的數分為以下幾種情況：
- 比當前節點小，則將他下放到左兒子。
- 等於這個節點，則將這個節點的 \(cnt+1\)。
- 否則則下放到右兒子。
最後如果沒有節點就新建一個節點，並且根據大小關係歸在父親節點的左或右兒子，將節點的 \(cnt\) 設為 \(1\)。
刪除
和插入是相反操作，規則同插入操作，但當等於當前結點值的時候，要分兩種情況：
- 當前結點的 \(cnt\) 值\(>1\)，即當前節點存在不止一個數，直接將 \(cnt-1\) 即可。
- 當前結點 \(cnt\) 為 \(1\)，即只有一個這樣的節點，這時候如果這個點是葉子節點（下面沒有兒子，直接將這個點的 \(cnt\) 設成 \(0\)，編號直接刪除。如果這個節點下面還有兒子，就把下面兩個元素中的任意一個元素所有變數賦值到這個位置，並且遞迴刪除下面的點，操作同上。
查詢排名為 \(x\) 的元素
根節點的排名取決於左子樹的大小。
- 當左子樹大小大於等於 \(x\)，則這個元素位於左子樹
- 當左子樹大小位於 \([x-cnt, x-1]\) 之間，則這個元素位於根節點
- 否則，這個元素位於右子樹
查詢元素 \(x\) 的排名
相當於搜尋 \(x\)，在遍歷右子樹時需要加上左子樹以及根節點的大小。
BST 的時間複雜度約為 \(O(\log n)\)，但是由於其特殊的性質，最壞情況下可以退化成一條鏈，這時候，複雜度將會退化成 \(O(n)\)，有超時風險。這時候就需要最佳化，最佳化方法有 Treap 和 Splay 等。