數學證明 學習筆記

時隔一年。。。。。終於轉去數學系了
然而還是要學證明（雖然在工程系中已經學了一遍了）
第一部分：首先定義集合：集合包含一系列元素。
它有3種性質：互異性，受定義性，無序性。
比如\(\{1,2,\{1,2,3\}\}\)就是集合。\(\{1,2,3\}\)是元素
通常使用大寫字母表示集合，小寫字母表示元素。
定義一個元素包含於某集合：\(x\in A\)
不包含於某個集合：\(x\not\in A\)
然後定義命題：命題是某個可能為真/假的語句（不能都取），比如“今天天氣很暖”
用\(\neg A\)表示某命題的取反，讓它的真假性翻轉
比如\(\neg(1+2=3)\) 是\(1+2\neq 3\)
接著是命題中的全部和存在符號。
記作\(\exists x\in A, P(x)\)
和\(\forall x\in A,P(x)\)
分別表示對於\(A\)裡面的所有數，\(P(x)\)都存在/滿足一個\(x\)使得\(P(x)\)為真
共有4個部分：符號(quantifier)表明這個表示式的型別
變數（variable）（\(x\)）
範圍（domain）\(A\)規定\(x\)的範圍
開句（open sentence）（\(P(x)\)）如果單獨一個\(P(x)\)，需要知道\(x\)的值才能決定\(P(x)\)
比如\(1+a=3\)就是一個開句，變數是\(a\)
開句的變數可能有多個，比如\(x,y\)記作\(P(x,y)\)
全部和存在符號可以取反：\(\neg(\exists x\in A, P(x))=\forall x\in A,\neg P(x)\)
\(\neg(\forall x\in A,P(x))=\exists x\in A,\neg P(x)\)
有時，我們會遇到巢狀的符號。
比如\(\forall x\in A,\exist y\in B,x>y\)
單純巢狀的符號交換順序也不會影響結果。
比如\(\forall x\in A,\exist y\in B,x>y=\exist y\in B,\forall x\in A,x>y\)
如果有括號，符號的作用範圍是從該符號開始到其左邊的第一個左括號所匹配的右括號。（如果沒有則為語句末）
比如\(\forall x\in A,(\exist y\in B, P(x,y))\Rightarrow(\exist z \in C, Q(z))\)中，\(\exist y\in B\)的作用範圍是\(P(x,y)\)
分析巢狀的符號的取反，可以按照符號從外層到裡層分析。
比如\(\neg(\forall x\in A,\exist y\in B,\forall z \in C,P(x,y,z))\)
\(=\exist x\in A,\neg(\exist y\in B,\forall z \in C,P(x,y,z))\)
\(=\exist x\in A,\forall y\in B,\neg(\forall z \in C,P(x,y,z))\)
\(=\exist x\in A,\forall y\in B,\exists z \in C,\neg P(x,y,z)\)