2023.5.6 寫的太爛了重新寫
差分約束系統
定義
差分約束系統是一種特殊的 \(n\) 元一次不等式組，它包含 \(n\) 個變數 \(x_{1},x_{2},...,x_{n}\) 以及 \(m\) 個約束條件，每一個約束條件都是兩個其中的變數做差構成的，形如 \(x_{i}-x_{j}\le c_{k}\)，其中 \(1\le i,j\le n,i\ne j,1\le k\le m\) 並且 \(c_{k}\) 是常數（可以為正數或非正數）。
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通俗一點講，這類問題都是給定 \(n\) 個變數，\(m\) 個限制，類似於：
有了這些條件，一般的題目會讓你求出一組合法的解，也就是求這 \(n\) 個變數的合法的值。
過程
我們可以建一個超級源點，然後向每一個點連一條邊權為 \(0\) 的邊，然後跑單源最短路；而上面的 \(m\) 個限制都可以變形為 \(x_{i}\le x_{j}+c_{k}\)，這個東西很容易想到我們在跑最短路的時候的鬆弛操作裡的 \(dis[v]\le dis[u]+w\)，因此我們就可以把每一個變數看作是一個圖中的點，對於每一個條件 \(x_{i}-x_{j}\le c_{k}\)，從 \(j\) 向 \(i\) 連一條邊權為 \(c_{k}\) 的有向邊。
我們在求解的時候一般用 SPFA 來跑，雖然他最壞的時間複雜度是 \(O(nm)\) 的，但是我們的差分約束裡面要是有負環的話，就說明是無解，再加上有負邊權，SPFA 這個已死的演演算法成了最好的方法，更何況他在一些隨機的圖中跑的飛快。
最後一個問題，最後轉化的式子是 \(x_{i}\le x_{j}+c_{k}\)，為什麼跑最短路？
但是我覺得，當你建圖的時候使用的是 \(x_{i}-x_{j}\le c_{k}\) 形式的方程組建圖時，即 \(j\) 向 \(i\) 連一條權值為 \(c_{k}\) 的邊，應該選擇跑最短路。
如果使用的是 \(x_{i}-s_{j}\ge c_{k}\) 形式的方程組來建圖時，應該選擇跑最長路。
P5960 【模板】差分約束演演算法
code:
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 50100
using namespace std;
int n,m,cnt,head[N];
queue<int>q;
struct SB{int w,v,next;}e[N<<1];
int dis[N],tot[N],vis[N];
inline void add(int u,int v,int w)
{
e[++cnt].v=v;
e[cnt].w=w;
e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
int SPFA()
{
q.push(0);
vis[0]=1;
tot[0]++;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w)
{
dis[v]=dis[u]+w;
q.push(v);
vis[v]=1;
tot[v]++;
if(tot[v]==n+1)
return 0;
}
}
}
return 1;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=INF;
for(int i=1;i<=n;i++)
add(0,i,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
add(y,x,z);
}
if(!SPFA())
cout<<"NO"<<endl;
else
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<dis[i]<<" ";
return 0;
}