微積分
導數和微分是微分學的兩個重要的概念
導數
在學習導數之前，我們需要掌握極限這個東西，介於本蒟蒻水平有限，下次再講~~
一例項：
1：瞬時速度
\[v_0=\lim_{\Delta t \to 0}v_{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta S}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(t_0+{\Delta t})}{\Delta t}
\]
2:切線斜率
\[k=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
二導數概念：
\(設函式y=f(x)在U(x_0)有定義，在x_0自變數x的改變數是\Delta x,相應函式的改變數是\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).若極限\)
\[\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x} ------------------------(3)
\]
\(存在（有限數），稱函式f(x)在x_0可導（或存在導數），此極限稱為函式f(x)在x_0的導數（或微商），記為f'(x)或\frac {\mathrm dy}{\mathrm dy} | _{x=x_0},即\)
\[f'(x_0)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
或
\[\frac {\mathrm dy}{\mathrm dy} | _{x=x_0}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
若極限（3）不存在，稱函式\(f(x)\)在\(x_0\)不可導
在(3)式中，如果自變數\(\Delta x\)只從大於0的方向或只從小於0的方向趨近0，有：
定義
若極限：
\[\lim_{\Delta t \to 0^+}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
與：
\[\lim_{\Delta t \to 0^-}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
都存在（有限數），則分別稱為函式\(f(x)\)在\(x_0\)右可導與左可導，其極限分別稱為函式\(f(x)\)在\(x_0\)的右導數與左導數，分別記為\(f'_+(x_0)\)與\(f'_-(x_0)\),即：
\[f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
與
\[f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
同時根據極限的知識可知：
\(函式f(x)在x_0可導\iff 函式f(x)在x_0的左右導數都存在，且相等，f'_+(x_0)=f'_-(x_0)\)
定理1：
\(若函式y=f(x)在x_0可導，則函式y=f(x)在x_0連續\)
注：該定理的逆命題不成立，則函式在一點連續，函式在該點不一定可導
例如：
\(函式f(x)=|x|在x=0連續，但它在x=0不可導\)
定義：
\(若函式f(x)在區間I的每一個點都可導，（若區間I的左（右）端點屬於I，函式f(x)在左（右）端點右可導（左可導））則函式f(x)在區間I可導\)
若函式\(f(x)在區間\)\(I\)可導，則\(\forall x\in I\)都存在（對應）唯一一個導數\(f'(x)\)在區間\(I\)的導函式，也簡稱導數，記為
\[f'(x), y'或\frac {\mathrm d y}{\mathrm d x}
\]
三例
根據導數定義，求函式\(f(x)\)在點\(x\)的導數，步驟：
一：在點\(x\)給自變數改變數\(\Delta x\),並計算\(x+\Delta x\)的函式值\(f(x+\Delta x)\)
二：計算函式改變數\(\Delta y\),即\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\)
三：作比\(\frac {\Delta y}{\Delta x}\)
四：求極限\(\lim _{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)\)
常見函式的導函式：
\[f(x)=C \iff 導數是0
\]
\[f(x)=x^n \iff (x^n)'=nx^{n-1}
\]
\[f(x)=\sqrt x\iff (\sqrt x)'=\frac {1}{2\sqrt x}
\]
\[f(x)=\sin x\iff(\sin x)'=\cos x
\]
\[(\cos x)'=-\sin x
\]
例：
求函式\(f(x)=\log _ax\)的導數
\(\huge 注意：e的定義：e=\lim \limits_{n\to\infty}(1+\frac {1}{n})^n\)
\(\forall x>0,有f(x+\Delta x)=\log _a (x+\Delta x)\)
\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\log _a(x+\Delta x)-\log _a x=\log_a (1+\frac {\Delta x}{x})\)
\(\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac {1}{\Delta x}\log _a(1+\frac{\Delta x}{x})=\frac {1}{x}\frac {x}{\Delta x}\log _a(1+\frac{\Delta x}{x})=\frac {1}{x}log_a(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac {x}{\Delta x}}\)
有
\[\lim _{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\to0}\frac {1}{x}\log _a(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac {x}{\Delta x}}=\frac {1}{x}log _a [\lim_{\Delta x\to 0}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}]=\frac {1}{x}\log _a e=\frac {1}{x\ln a}
\]
即對數函式\(\log_ax\)在定義域\((0,+\infty)\)任意\(x\)都可導，於是它在\((0,+\infty)\)可導，並且
\[(log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}
\]
特別是，自然對數函式\(a=e\)
\[(\ln x)'=\frac {1}{x\ln e}=\frac {1}{x}
\]
求有些函式\(f(x)\)在特定點\(x_0\)的導數是需要用到定義：
\[f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
例：
求函式
\[f(x)=\begin{cases} x^2\sin {\frac {1}{x}},x\ne0\\0,x=0\end{cases}
\]
在點0的導數：
\[f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}x\sin\frac {1}{x}=0
\]
求導法則與導數公式
導數四則運算
定理1
若函式\(u(x)\)與\(v(x)\)在\(x\)可導，則函式\(u(x)\pm v(x)\)在\(x\)也可導，且：
\[[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)
\]
法則1
有限個函式的代數和的導數等於每個函式導數的代數和
同時亦可以擴充套件到求任意有限個函式和的導數
定理2
若函式\(u(x)\)與\(v(x)\)在\(x\)可導，則函式\(u(x)v(x)\)在\(x\)也可導，且：
\[[u(x)v(x)]'=u(x)v'(x)+v(x)u'(x)
\]
證明：
\(設y=u(x)v(x)\),有
\[\begin{align*}
\Delta y&=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)
\\&=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x+\Delta x)v(x)+u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)
\\&=u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-u(x)]
\\&=u(x+\Delta x)\Delta v+v(x)\Delta u
\end{align*}
\]
\[\frac {\Delta y}{\Delta x}=u(x+\Delta x)\frac{\Delta v}{\Delta x}+v(x)\frac{\Delta u}{\Delta x}
\]
已知函式\(u(x)\)與\(v(x)\)在\(x\)可導，即
\[\lim_{x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=u'(x)與\lim_{x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=v'(x)
\]
可知：
\[\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}&=\lim_{x\to0}u(x+\Delta x)\lim_{x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}+v(x)\lim_{x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}
\\&=u(x)v'(x)+v(x)u'(x)
\end{align*}
\]
法則2
兩個函式乘積的導數等於第一個函式乘以第二個函式的導數再加上第二個函式的導數再加上的二個函式乘以第一個函式的導數
也可以擴充套件到任意有限個函式乘積的導數，即：
若函式\(u_1(x),u_2(x),u_3(x)...u_n(x)\)在\(x\)都可導，則它們的乘積在\(x\)也可導，且：
\[[u_1(x)u_2(x)u_3(x)...u_n(x)]'=u_1'(x)u_2(x)u_3(x)...u_n(x)+
\\u_1(x)u_2'(x)...u_n(x)+...+
\\u_1(x)u_2(x)...u_n'(x)法則2'
\]
\(n個函式乘積的導數等於n項和，其中每一項都是一個函式的導數乘其它n-1個函式的積（這樣的項共有n項）\)
定理2的特殊情況
\(但v(x)=c\)是常數時：
\[[cu(x)']=cu'(x)+u(x)(c)'=cu'(x)
\]
法則2''
常數與函式乘積的導數等於常數乘函式的導數，或說“常數因子可移到導數符號外邊來”
定理3
\(若函式u(x)與v(x)在x可導，且v(x)\ne0,則函式\frac{u(x)}{v(x)}在x也可導，且\)
\[[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
設\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\),有
\[\begin{align*}
\Delta y&=\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x)v(x+\Delta x)}
\\&=\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x)v(x+\Delta x)}
\\&=\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{v(x)v(x+\Delta x)}
\\&=\frac{v(x)\Delta u-u(x)\Delta v}{v(x)v(x+\Delta x)}
\end{align*}
\]
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{\Delta u}{\Delta x}v(x)-u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(x)v(x+\Delta x)}
\]
即
\[\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}v(x)-u(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
即函式\(\frac{u(x)}{v(x)}\)在\(x\)可導，且
\[[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
法則3
兩個函式商的導數等於兩個函式的商，其分子是原來函式分子的導數乘乘分母減去分母的導數乘分子，其分母是原來函式分母的平方
定理三特殊情況
當\(u(x)=1\)時，有：
\[[\frac{1}{v(x)}]'=-\frac{v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
由此可得：
\[(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2x
\]
\[(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x
\]
\[(\sec x)'=(\frac{1}{\cos x})'=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\frac{\tan x}{\cos x}
\]
\[(\csc x)'=(\frac{1}{\sin x})'=-\frac{\cos x}{\sin^2x}
\]
反函式求導法則
定理4
若函式\(f(x)\)在\(x\)的某領域連續，並嚴格單調，函式\(y=f(x)\)在\(x\)可導，並且\(f'(x)\ne0\),則它的反函式\(x=\varphi(y)\)在\(y(y=f(x))\)可導，且：
\[\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}
\]
證明：
\(設反函式x=\varphi(y)在點y的自變數是\Delta y(\Delta y\ne0),有:\)
\[\Delta x=\varphi (y+\Delta y)-\varphi(y)
\\\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
\]
\(已知函式y=f(x)在x的某鄰域連續和嚴格單調，那反函式也如此，有\Delta y\to0\iff\Delta x\to0;\Delta y\ne0\iff\Delta x\ne0,於是：\)
\[\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}
\]
有：
\[\lim_{\Delta y\to0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x)}
\]
法則4
反函式的導數等於原函式導數的倒數
由此可知：
\[(\arcsin x)'=\frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}}
\]
\[(\arccos x)'=-\frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}}
\]
\[(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}
\]
\[(arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}
\]
複合函式求導法則
定理5
若函式\(y=f(u)\)在\(u\)可導，函式\(u=g(x)\)在\(x\)可導，則複合函式\(y=f[g(x)]\)在\(x\)也可導，且：
\[\{f[g(x)]\}'=f'(u)g'(x)
\]
法則5
複合函式的導數等於函式對中間變數的導數乘中間變數對自變數的導數
例：
求冪函式\(y=x^\alpha(\alpha 是實數)的導數\)
由題意得：\(\ln y=\alpha\ln x\),即：
\[y=e^{\alpha \ln x}(x>0)
\]
根據複合函式求導法則，有：
\[(x^{\alpha })'=(e^{\alpha \ln x})'=(e^u)'(\alpha\ln x)'=e^u\frac{\alpha}{x}=e^{\alpha \ln x}\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha -1}
\]
微分
所以：
\[\mathrm dy=f'(x){\rm d}x
\]
同時導數
\[f'(x)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}
\]
不定積分
原函式
定義1
設函式\(f\)與\(F\)在區間\(I\)上都有定義，若
\[F'(x)=f(x),x\in I
\]
則稱\(F\)為 \(f\)在區間上的一個原函式
即：
\(F(x)\)的導數為\(f(x)\)
定理1
若函式\(f\)在區間\(I\)上連續，則\(f\)在\(I\)上存在原函式\(F\)，即\(F'(x)=f(x),x\in I\)
定理2
設\(F\)是\(f\)在區間\(I\)上的一個原函式，則
\((i)\) \(F+C\)也是\(f\)在\(I\)上的原函式，其中\(C\)為任意常量函式;
\((ii)\)\(f\)在\(I\)上的任意兩個原函式之間，只可能相差一個常數
也就是說，對於一個函式\(f\)，只要其存在原函式，就一定有無數多個
不定積分
定義
函式\(f(x)\)在區間\(I\)的所有原函式\(F(x)+C(\forall C\in R)\)稱為函式\(f(x)\)的不定積分，表示為：
\[\int f(x)\mathrm dx=F(X)+c(F'(x)=f(x))
\]
不定積分公式表
\[\begin{align*}
&1.\int a \mathrm dx=ax+C
\\&\int \mathrm dx=x+C
\\&2.\int x^\alpha\mathrm dx=\frac{1}{\alpha +1}x^{\alpha +1},\alpha 是常數，且\alpha \ne -1
\\&3.\int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln|x|+C,x\ne0
\\&4.\int a^x\mathrm dx=\frac{1}{\ln a}a^x+C,其中a>，且a\ne 1
\\&\int e^x\mathrm dx=e^x+C
\\&5.\int \sin x\mathrm dx=-\cos x+C
\\&6.\int \cos x\mathrm dx=\sin x +C
\\&7.\int \frac{\mathrm dx}{\cos^2x}=\tan x+C
\\&8.\int \frac{\mathrm dx}{\sin^2x}=-\cot x +C
\\&9.\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C=-\arccos x+C
\\&10.\int \frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\arctan x+C=-arccot x +C
\end{align*}
\]
注意公式3，表示的是兩個不定積分
分部積分與換元積分
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以後再補充