小之的公眾號 : WeaponZhi
前言
上一篇我們介紹了 Octave 的一些基本情況，大家對 Octave 應該已經有了一個基本的瞭解，我相信看這篇文章的朋友已經在自己的電腦中安裝好 Ocatve 了。矩陣的操作是 Octave 的一大特色。這一節，我將講述 Octave 對於矩陣的一些操作，希望大家在看文章的過程中可以跟著一起敲一下程式碼，加深一下印象。
矩陣的生成
Octave 中，我們用一箇中括號來表示一個矩陣，用分號來分隔每一行，即使在輸入的時候不在同一行就像下面這樣：
>> A = [1 2; 3 4; 5 6]
A =
1 2
3 4
5 6
>> A = [1 2;
> 3 4;
> 5 6]
A =
1 2
3 4
5 6
>> A = [1,2; 3,4; 5,6]
A =
1 2
3 4
5 6
複製程式碼注意到，你可以通過逗號來區分每行中的每一個元素，但我們一般不這樣用，這樣看起來不太清晰。那麼如果要表示向量該怎麼做呢？我們知道，行向量和列向量分別是一行三列和三行一列的矩陣，那舉一反三的你一定知道該怎麼定義了吧？
>> A = [1 2 3]
A =
1 2 3
>> A = [1; 2; 3]
A =
1
2
3
複製程式碼可以通過冒號來實現具有遞進規則的行向量，兩個冒號之間的數代表遞進的 step 大小，很容易理解，和 Python 的操作有點像。
>> A = 1:0.1:1.5
A =
1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000
>> A = 1:5
A =
1 2 3 4 5
複製程式碼通過一些函式可以快速生成一些特殊矩陣
>> ones(2,3)
ans =
1 1 1
1 1 1
>> 2*ones(2,3)
ans =
2 2 2
2 2 2
>> zeros(2,3)
ans =
0 0 0
0 0 0
>> eye(3)
ans =
Diagonal Matrix
1 0 0
0 1 0
0 0 1
>> rand(2,3)
ans =
0.480397 0.505024 0.056767
0.336853 0.774152 0.535887
>> magic(3)
ans =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
複製程式碼ones() 生成全是 1 的矩陣，你可以使用數字和 ones() 生成的矩陣相乘，它和 zeros() 還有 rand() 一樣，第一個引數代表行數，第二個引數代表列數。zeros() 生成元素全是 0 的矩陣，而 rand() 可以生成元素是 0-1 之間隨機數的矩陣。eye()可以生成單位矩陣，熟悉線性代數的朋友可能會對單位矩陣比較熟悉，它很有用，但線性代數的知識不是本文的重點。形式上可以理解為正斜對角線都是 1 的矩陣。
magic(n) 生成一個 n 階矩陣，這個矩陣的特點就是不論橫線，豎線還是對角線，加起來的值都是一樣的，數字還不能重複，必須是從 1 到 n 的平方，很有趣吧。
矩陣的操作
講述矩陣的操作之前，讓我們先來定義一個 3×2 的矩陣 A，方便我們理解程式碼
>> A = [1 2; 3 4; 5 6]
A =
1 2
3 4
5 6
複製程式碼我們可以通過 size 和 length 函式來獲取矩陣維度的相關資訊
>> size(A)
ans =
3 2
>> size(A,1)
ans = 3
>> size(A,2)
ans = 2
>> length(A)
ans = 3
複製程式碼size(A) 返回一個行向量，這個行向量代表了 A 的維度，這裡輸出的 3 2 代表 A 是一個 3 行 2 列的矩陣。size()還可以新增第二個引數，size(A,1) 輸出 A 的第一個維度的數量，也就是行數，2 代表的是列數。length(A) 返回的是 A 矩陣中最大維度的大小，所以這裡返回的是 A 的行數 3，一般我們都是對向量使用 length() 來直接返回向量的長度。
我們來看看對於矩陣的各種讀取操作吧。
>> A(3,2)
ans = 6
>> A(:)
ans =
1
2
3
4
5
6
>> A(1:6)
ans =
1 3 5 2 4 6
複製程式碼A(3,2) 代表取 A 矩陣第三行第二列的元素，這個比較好理解。A(:) 會將矩陣轉化為一個列向量，A(1:6) 將按列順序輸出 A 矩陣第 1 到 第 6 個元素。這些都還是比較簡單的，後兩個往往在求和的時候用的比較多，我們後面會說到。
我們來看一波天秀操作
>> A(:,2)
ans =
2
4
6
>> A(2,:)
ans =
3 4
>> A([2,3],:)
ans =
3 4
5 6
>> A(:,2) = [1; 3; 5]
A =
1 1
3 3
5 5
>> A = [A,[1; 2; 3]]
A =
1 1 1
3 3 2
5 5 3
>> B = 5*ones(3)
B =
5 5 5
5 5 5
5 5 5
>> [A B] % [A,B] % 號是註釋
ans =
1 1 1 5 5 5
3 3 2 5 5 5
5 5 3 5 5 5
>> [A; B]
ans =
1 1 1
3 3 2
5 5 3
5 5 5
5 5 5
複製程式碼來，我們一點點看。A(:,2) 輸出 A 的第二列，A(2,:) 輸出 A 的第二行，A([2,3],:) 輸出第二行和第三行，你可以把冒號換成數字這樣就可以輸出這幾行的第幾個元素了。A(:,2) = [1; 3; 5] 將 A 的第二列替換成 [1; 3; 5] 這個列向量。[A B] 和 [A, B] 的含義一樣，將 B 併到 A 的右邊。[A; B] 則是把 B 併到 A 的下面。
矩陣的運算
這節將講一些矩陣運算的操作，涉及到一些線代的知識，如果有疑惑，可以自己去重溫下，你大概只要知道矩陣相乘和逆矩陣是怎麼一回事就行了。先來看一段程式碼
>> A = [1 2; 3 4; 5 6];
>> B = [1 1 1;2 2 2;];
>> C = [11 12; 13 14; 15 16];
>> A * B
ans =
5 5 5
11 11 11
17 17 17
>> A .* C
ans =
11 24
39 56
75 96
複製程式碼我們先定義了三個矩陣，還記得嗎，末尾加分號將不會列印出來。A * B 代表矩陣 A 和 B 的乘積，這是數學上的乘積方式，所以一個三行兩列的矩陣乘以兩行三列的矩陣，將得到一個三行三列的矩陣，這裡就不具體說乘積運算的規則了。A .* C 會將 A 和 C 的同位置元素相乘，這就代表了 A 和 C 的維度必須要一樣。
我們來看下矩陣和數字的操作
>> A + 1
ans =
2 3
4 5
5 6
>> A * 2
ans =
2 4
6 8
10 12
>> A .^ 2
ans =
1 4
9 16
25 36
>> A / 2
ans =
0.50000 1.00000
1.50000 2.00000
2.50000 3.00000
>> 1 ./ A
ans =
1.00000 0.50000
0.33333 0.25000
0.20000 0.16667
複製程式碼A+1 將每個元素作加法，A * 2 把 A 中每個元素都乘以 2，當然 2 * A 也可以，結果一致，我們在上面曾經使用 5 * ones(3) 來快速生成三階全是 5 的矩陣。A .^ 2 代表對 A 每個元素進行次方操作。A / 和 ./ 含義是一樣的，但 1 / A 將會報錯
>> 1 / A
error:operator /:nonconformat arguments
>> 1 / [2]
ans = 0.50000
>> 1 / 2
ans = 0.50000
複製程式碼除數必須得是 1×1 的矩陣或者是個數，總而言之它這是真正的算數除法運算了。
當然還有一些對元素做操作的運算，比如 log(A) 是每個元素求對數，exp(A) 是對每個元素求 e 的指數，abs(A) 是求絕對值，當然還有很多，就不一一列舉了。大家可以通過 help 指令直接進行文件查閱。
下面看看轉置矩陣和逆矩陣如何表示
>> A`
ans =
1 3 5
2 4 6
>> (A`)`
ans =
1 2
3 4
5 6
>> flipud(A)
ans =
5 6
3 4
1 2
>> B = pinv(A)
B =
-1.33333 -0.33333 0.66667
1.08333 0.33333 -0.41667
>> A * B % B * A
ans =
1.00000 0.00000
-0.00000 1.00000
複製程式碼用單引號 ` 來表示矩陣的轉置矩陣。flipud(A) 將矩陣翻轉，這個函式一般用在翻轉範圍矩陣 flipud(eye(n)) ，這樣就可以獲得一個反對角線單位矩陣了。
pinv(A) 表示 A 的逆矩陣，逆矩陣和原矩陣相乘是單位矩陣，值得注意的是，不是每一個矩陣都有逆矩陣，但 pinv() 始終都能得到結果，實際上 pinv() 獲取的是一個偽逆矩陣，但這不重要，你可以把 pinv() 當作對矩陣的求逆，這裡就不具體深究了。
到目前為止，矩陣的運算還是比較簡單的，相比起來，下面的運算就有點蒂花之秀了。
>> max(A)
ans =
5 6
>> max(A,[],1)
ans =
5 6
>> max(A,[],2)
ans =
2
4
6
>> [val, ind] = max(A)
val =
5 6
ind =
3 3
>> max(A,[3 3; 3 3; 3 3])
ans =
3 3
3 4
5 6
>> A > 3
ans =
0 0
0 1
1 1
>> find([1 2 3] > 1)
ans =
2 3
>> [r,c] = find(A > 3)
r =
3
2
3
c =
1
2
2
複製程式碼max(A) 將求每列的最大值，並以行向量形式輸出，預設形式等同於 max(A,[],1)，如果求每列最大值，則把第三個引數改為2。用 [val, ind] 接收的話，val 的值為最大值，ind 為這個值在該列的索引位置。max(A,B) 將取每個位置中 A 與 B 較大的元素。min 和 max 操作是一樣的。
A > 3 輸出一個同維度的矩陣，符合條件的為 1 ，不符合條件的為 0。find() 函式中如果是一個向量，則返回符合條件的索引位置，如果是一個矩陣，則用 [r,c] 返回元素的索引，r 代表行號，c 代表列號，比如例子中第一個匹配值 A(3,1) 是 5 ，的確大於 3。
最後看下求和
>> sum(A,1)
ans =
9 12
>> sum(A,2)
ans =
3
7
11
>> sum(sum(A))
ans = 21
複製程式碼sum 和 max 一樣，預設情況下是列運算，行向量輸出，但引數設定為 2 的時候，則是行求和，列向量輸出。所以就像例子中一樣，如果我們要求一個矩陣所有元素的和，只需要做兩次 sum(sum(A)) 即可。
總結
Octave 矩陣方面的介紹就這麼多了，寫的很多，權當一個筆記吧，實際上還有很多操作，大家可以使用 help 指令或者觀看官方文件來進行學習。
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