知識複習
向量的線性關係
我們先從方程入手
把它寫成向量的形式，分別用\(\alpha_i, \beta\)表示上面的列向量，那麼方程等價於\(\sum x_i \alpha_i =\beta\)
如果考慮齊次方程，那麼$\sum x_i \alpha_i =0 $，\(0\)肯定是一個解，但是我們想知道的是有沒有非平凡的解，也就是說有沒有一組不全為0的\(x_i\)能滿足方程. 為此我們引入如下定義
於是，有非零解等價於向量組 \(\alpha_i\)線性相關
定理3.4.2 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)線性相關的充要條件是 其中至少有一個向量可以表示為其餘向量的線性組合
證明：利用定義即可
定理3.4.3 已知 \(\beta\)可以表示為\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)的線性組合，則表示唯一的充要條件是\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)線性無關
證明：反證法.
評註：這個定理就說明了方程組有唯一解的充要條件是\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)線性無關.
向量組的秩
給定一組向量，若線性相關，那麼一定有一個向量可以表示為其他向量的線性組合，那麼去掉它，不斷重複這個過程，直到剩下的向量是線性相關的為止
定義3.5.1 （極大線性無關組）
設線上性空間 \(V\)中有一族向量 \(S\) (其中可能只有有限個向量， 也可能有無限多個向量),如果在\(S\)中存在一組向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)適合如下條件：
（1）\(\alpha _1, \alpha _2, \cdots , \alpha _r\) 線性無關
（2）這族向量中的任意一個向量都可以用\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)線性表示，
那麼稱\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)是向量族\(S\)的極大線性無關組，簡稱極大無關組，
兩個條件缺一不可，牢記. 有了極大線性無關組的定義，第一個問題便是存在性——每個向量組一定有極大線性無關組嗎？由歸納法可以證明，一定存在！唯一性成立嗎？唯一性並不成立. 但是 一個向量組的不同極大線性無關組的元素個數卻是一樣的. 也就是說，假定已知向量族\(S\)有兩個極大無關組\(A,B.\)由極大無關組的定義，\(A\)和\(B\)都是線性無關的向量組且\(A\)中每個向量可以用\(B\)中向量線性表示，\(B\)中每個向量也可以用\(A\)中向量線性表示.我們希望證明：兩個線性無關的向量組如果能夠互相線性表示，則它們含有相同個數的向量.這隻需證明一個更廣泛的命題.
引理 3.5.1 設\(A,B\)是\(V\)中兩組向量，\(A\)含有\(r\)個向量，\(B\)含有\(s\)個向量. 如果\(A\)中向量線性無關且\(A\)中每個向量均可用\(B\)中向量線性表示，則 \(r\leq s.\)
定義3.5.2 （向量組的秩）向量組的極大線性無關組所含向量的個數稱為秩，記為 \(r(S)\)
定義3.5.3 如果兩個向量組可以相互表示，那麼稱這兩個向量組等價. 等價的向量組有相同的秩.
現在我們把整個線性空間視為一個向量組，那麼這個向量組的極大線性無關組就是基
定義 3.5.4 設 V 是數域\(\mathbb{K}\)上的線性空間，若在\(V\)中存線上性無關的向量\(e_1,e_2,\cdots,e_n\),使得\(V\)中任一向量均可表示為這組向量的線性組合，則稱\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一組基，線性空間\(V\)稱為\(n\)維線性空間(具有維數\(n).\) 如果不存在有限個向量組成\(V\) 的一組基，則稱\(V\) 是無限維線性空間.
定理 3.5.4 (基擴張定理) 設 \(V\)是\(n\)維線性空間\(,v_1,v_2,\cdots,v_m\)是 \(V\)中\(m\left(m<n\right)\)個線性無關的向量，又假定\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一組基，則必可在\(\{\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n\}\) 中選出\(n-m\)個向量，使之和\(v_1,v_2,\cdots,v_m\)一起組成\(V\)的一組基.
矩陣的秩
前面我們考慮向量組的秩，現在把向量寫成分量的形式，然後再拼起來，就得到一個矩陣，很自然地引出矩陣的秩的定義
定義 3.6.1 設\(A\)是\(m\times n\)矩陣，則\(A\)的\(m\)個行向量的秩稱為\(A\)的行秩；\(\boldsymbol{A}\)的\(n\)個列向量的秩稱為\(A\)的列秩.
定理 3.6.1 矩陣的行秩和列秩在初等變換下不變
推論 任意矩陣的行秩等於列秩
證明: 由於任意矩陣可以變換為\[B=\begin{pmatrix}I_r&O \\O&O\end{pmatrix} \]那麼很容易看出來行秩列秩都是 $ r$.
推論 任意非異陣與矩陣\(A\)相乘,秩不變
因為非異陣可以寫成有限個初等矩陣的乘積.
推論 方陣\(A\)為非異陣的充要條件是\(A\)滿秩.
座標向量
下面我們討論座標向量,將一般的線性空間和我們更熟悉的\(n\)維向量空間對應.
引理3.7.1 設\(e_1, \ldots ,e_n\)為向量空間 \(V\)的一組基,\(\alpha \in V, \alpha =\sum a_i e_i=\sum b_i e_i\), 那麼\(a_i = b_i\).
這就表明,如果我們取定了一組基,那麼每一個向量的表示方法就唯一確定了,也就是說係數固定了,我們定義如下對映$$\phi : V \to K^n$$ $$ \alpha =\sum a_i e_i \mapsto (a_1, \ldots ,a_n)$$
\((a_1, \ldots ,a_n)\)稱為是\(\alpha\)在基\(e_1, \ldots ,e_n\)下的座標. 容易驗證這是一個線性同構,一些有用的小結果: \(\phi (0)=0\), \(\phi\)將線性無關組映為線性無關組.
我們知道極大線性無關組是不唯一的,換句話說,一個線性空間的基是不唯一的,剛剛我們的討論是取定一組基,然後看座標,現在的問題是,我們改變基,同一個向量在不同基下的座標之間有什麼關係?
子空間
現在我們開始一個新的話題,子空間,略去簡單的定義,只介紹重要的部分.
首先是兩類重要的例子,兩個子空間的和與交
定義 3.9.2 若\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空間，定義它們的交為既在\(V_1\)又在\(V_2\)中的
全體向量所成的集合\(V_1\cap V_2\).定義它們的和為\[V_1+V_2=\{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}|\boldsymbol{\alpha}\in V_1,\boldsymbol{\beta}\in V_2\}, \]即所有形如\(\alpha+\beta\)的向量的集合，其中要求\(\alpha\in V_1,\boldsymbol{\beta}\in V_2.\)
如果給了一個向量組,也可以得到一個子空間,定義如下
定義 3.9.3 設\(S\)是線性空間\(V\)的子集，記\(L(S)\)為\(S\)中向量所有可能的線性組合構成的子集，則由定義 3.9.1 不難看出\(,L(S)\) 是\(V\) 的一個子空間，稱之為由集合\(S\)生成的子空間，或稱之為由\(S\)張成的子空間.
定理 3.9.1 設\(S\)是線性空間\(V\)的子集\(,L(S)\)為由\(S\)張成的子空間，則
\((1)S\subseteq L(S)\)且若\(V_0\)是包含集合\(S\)的子空間，則\(L(S)\subseteq V_0\),也即\(L(S)\)是
包含 \(S\) 的\(V\) 的最小子空間；
(2) \(L(S)\)的維數等於\(S\)中極大無關組所含向量的個數，且若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)
是\(S\)的極大無關組，則\(L(S)=L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m).\)
定理 3.9.2 (維數公式) \(dim(V_1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)-dim(V_1 \cap V_2)\)
線性方程組的解
最後一節,我們回到線性方程組的求解問題,給出一般的線性方程組解的判斷定理
定理 3.10.1 設有\(n\)個未知數\(m\)個方程式組成的線性方程組：
\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\\\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\end{cases} \]它的係數矩陣記為 \(A\),增廣矩陣記為 \(\widetilde{A}\),即
\[\widetilde{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{pmatrix}, \]則有下列結論：
(1)若\(\widetilde{A}\)與\(A\)的秩都等於\(n\),則該方程組有唯一一組解；
(2)若\(\widetilde{A}\)與\(A\)的秩相等但小於\(n\),即 r\((\widetilde{\boldsymbol{A}})=\)r\((\boldsymbol{A})<n\),則該方程組有無窮多組解；
(3)若\(\widetilde{A}\)與\(A\)的秩不相等，則該方程組無解.