高等代數筆記：克萊姆法則（Cramer）

目錄

• 線性方程組何時有解
• 求線性方程組的唯一解

線性方程組何時有解

先說結論：克萊姆法則用於n元線性方程組求解.

數域K上n個方程的n元線性方程組：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} \]

係數矩陣記A，增廣矩陣\(\widetilde{A}=(A, b)\)，行階梯形矩陣\(\widetilde{J}=(J,d)\).

\[\begin{aligned} \widetilde{A}\xrightarrow{初等行變換}\widetilde{J}\\ A\xrightarrow{初等行變換}J \end{aligned} \]

1）方程組無解=>\(\widetilde{J}\)有非零行(0,...,0,d)=>J有零行=>\(|J|=0\)，此時，出現“0=d(d≠0)”

2）有解時，有無窮解=>\(\widetilde{J}\)非零行數目r < n=>\(\widetilde{J}\)有零行=>J有零行=>\(|J|=0\)

3）有唯一解=>r=n => \(\widetilde{J}\)有n個非零行，但不能有“(0,...,0,d)”這樣的非零行(否則無解)=>J有n個非零行=>J有n個主元=>\(|J|=c_{11}c_{22}...c_{nn}\neq 0\)，形如：

\[J=\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n}\\ 0 & c_{22} & ... & c_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & c_{nn} \end{vmatrix} \]

其中，\(c_{11},c_{22},...,c_{nn}\)全都不為0

反過來，\(|J|\neq 0\)=>方程組有唯一解 成立嗎？
\(|J|\neq 0\)=>J有n個主元=>J主對角線元素均非0=>\(x_n,...,x_2,x_1\)有唯一解=>方程組有唯一解

綜上，方程組有唯一解當且僅當\(|J|\neq 0\).

由行列式性質（2、4、7）知，

\[A\xrightarrow{初等行變換}J \]

則有，

\[|J|=l|A|, l\neq 0 \]

∴\(|J|\neq 0\)當且僅當\(|A|\neq 0\).

可得定理：

定理1 數域K上n個方程的n元線性方程組有唯一解充要條件：其係數行列式（即係數行列式|A|）不為0.

證明見上.

推論1 數域K上n個方程的n元齊次線性方程組只有0解的充要條件：其係數行列式不為0. 從而有非0解充要條件是其係數行列式為0.

tips: 齊次線性方程組指常數項全為0，即\(b_1=b_2=...=b_n=0\)；
非齊次線性方程組指常數項不全為0，即\(b_1,b_2,...,b_n\)至少有1個非0.

證明：2個結論
1）
由定理1知，方程組有唯一解充要條件：係數行列式不為0，即\(|A|\neq 0\)

對於齊次線性方程組，0顯然是一個解
∴只有0解充要條件：係數行列式不為0，即\(|A|\neq 0\)

2）必要性 假設有非0解
∵0是齊次線性方程組的一個解
如果要有非0解，則必定不止1個解
∴\(|A|=0\)

充分性 假設\(|A|=0\)

此時，方程組要麼無解，要麼有無窮解
而對於齊次線性方程組，0顯然是一個解
∴方程組有無窮解
∴除0解外，其他解必為非0解
故得證

求線性方程組的唯一解

線性方程組如果有唯一解，那麼解是什麼？

對於2元一次方程組，解為\((\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|})\)，\(B_1, B_2\)是係數矩陣A的第1、2列換成常數項後所得矩陣.

對於n元一次方程組，可以將係數矩陣A的第j列換成常數項，得到\(B_j,j=1,2,...,n\)，即：

\[B_j=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & ... & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... &...\\ a_{n1} & ... & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & ... & a_{nn}\\ \end{pmatrix} \]

定理2 n個方程組的n元線性方程組的係數行列式\(|A|\neq 0\)時，其唯一解為

\[(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},...,\frac{|B_n|}{|A|}) \]

證明：
由定理1，\(|A|\neq 0\)時方程組有唯一解.

將\(x_i=\frac{|B_j|}{|A|}(j=1,2,...,n)\)代入第i個方程左邊：

\[\begin{aligned} &a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+...+a_{in}x_n\\ =&\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{|B_j|}{|A|}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}|B_j|\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}\sum_{k=1}^nb_k(B_{j})_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}\sum_{k=1}^nb_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^na_{ij}b_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^nb_k(\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj})\\ =&\frac{1}{|A|}b_i|A|=b_i \end{aligned} \]

補充說明：
前面高等代數筆記：行列式提到過，行列式|A|按第i行展開：

\[|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} \]

其中，\(A_{ij}\)是矩陣A的(i,j)元的代數餘子式.

因此，\(|B_j|\)按第j列展開：

\[|B_j|=\sum_{k=1}^nb_k(B_j)_{kj} \]

其中，\(b_k\)是\(B_j\)的第j列第k行元素，也是方程組第k個方程的常數項.

而\(A\)替換第j列為常數項 -> \(B_j\)

∴\(|B_j|\)與\(|A|\)的第j列代數餘子式相同
即

\[|B_j|=\sum_{k=1}^nb_k(B_j)_{kj}=\sum_{k=1}^nb_kA_{kj} \]

由前面高等代數筆記：行列式知，

\[\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases} |A|, &k=i\\ 0, &k\neq i \end{cases} \]

又k=1,2,..,n, i∈[1,n]
∴只有當k=i時，\(\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}\)取值|A|，其他情形取值0