高等代數：3 線性方程組的解集的結構

3 線性方程組的解集的結構

3.1 n維向量空間\(K^n\)

1、定義1：數域K上所有n元有序陣列組成的集合\(K^{n}\),連同定義在它上面的加法運算和數量乘法運算，以及滿足的8條運演算法則一起，稱為數域K上的一個n維向量空間。\(K^{n}\)的元素稱為n維向量；設向量\(\alpha =(a_1,a_2,\dots,a_n)\)，稱\(a_i\)是\(\alpha\)的第\(i\)個分量。

取定一個數域K，設n是任意給定的一個正整數。令

\[K^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\space|\space a_i \in K,i=1,2,\dots,n\}. \]

如果\(a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n\)，則稱\(K^ n\)中兩個元素\((a_1,a_2,\dots,a_n)\)與\((b_1,b_2,\dots,b_n)\)相等。

在\(K^{n}\)中規定加法運算如下：

\[(a_1,a_2,\dots,a_n)+(b_1,b_2,\dots,b_n)\xlongequal{\text{def}}(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n) \]

在\(K\)的元素與\(K^{n}\)的元素之間規定數量乘法運算如下：

\[k(a_1,a_2,\dots,a_n) \xlongequal{\text{def}} (ka_1,ka_2,\dots,ka_n) \]

容易直接驗證加法和數量乘法滿足下述8條運演算法則：對於\(\alpha ,\beta ,\gamma \in K^n ;\space k,l \in K\) 有

(1)\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)；

(2)\((\alpha +\beta)+\gamma=\alpha +(\beta +\gamma)\)；

(3)把元素\((0,0,\dots,0)\)記作0，它使得

\[\bold 0+\alpha=\alpha+\bold 0=\alpha, \]

稱0是\(K^n\)的零元素；

(4)對於\(\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in K^n\)，令

\[-\alpha \xlongequal{\text{def}} (-a_1,-a_2,\dots,-a_n) \in K^n, \]

有

\[\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=\bold 0, \]

稱\(-\alpha\)是\(\alpha\)的負元素；

(5)\(1\alpha=\alpha\);

(6)\((kl)\alpha=k(l\alpha)\);

(7)\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\);

(8)\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\).

2、補充：

(1)通常用小寫字母\(\alpha ,\beta ,\gamma\)表示向量。

(2)在n維向量空間\(K^n\)中，可以定義減法運算如下：

\[\alpha -\beta \xlongequal{\text{def}} \alpha +(-\beta). \]

(3)在n維向量空間\(K^n\)中，容易直接驗證下述4條性質：

\[\begin{aligned} 0\alpha=\bold 0,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ (-1)\alpha=-\alpha,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ k\bold 0=\bold 0,& \qquad \forall k \in K; \\ k\alpha=\bold 0 \implies & k=0 \, 或 \, \alpha=\bold 0 \end{aligned} \]

(4)n元有序陣列寫成一行，稱為行向量；寫成一列，稱為列向量。\(K^n\)既是n維行向量組成的向量空間，也是n維列向量組成的向量空間。

(5)在\(K^n\)中，給定向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)，對於\(\beta \in K^n\)，如果存在K中一組數\(c_1,c_2,\dots,c_s\)使得

\[\beta=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\dots+c_s\alpha_s, \]

那麼稱\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)線性表出（示）。\(\beta\)是向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)的一個線性組合，其中\(c_1,c_2,\dots,c_s\)稱為係數。

3、定義2：\(K^n\)的一個非空子集U如果滿足：

\[\begin{aligned} (1) \quad & \alpha,\gamma \in U \implies \alpha +\gamma \in U, \\ (2) \quad & \alpha \in U,k\in K \implies k\alpha \in U, \end{aligned} \]

那麼稱U是\(K^n\)的一個線性子空間，簡稱子空間。其中性質（1）稱為U對於\(K^n\)的加法封閉；性質（2）稱為U對於\(K^n\)的數量乘法封閉。

(1) {0}是\(K^n\)的一個子空間，稱為零子空間。\(K^n\)本身也是\(K^n\)的一個子空間。

(2) 從而，\(K^n\)中，向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)的所有線性組合組成的集合W是\(K^n\)的一個子空間，稱它為\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)生成（或張成）的子空間，記作

\[<\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s> \]

(3) 命題1：數域K上n元線性方程組\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=\beta\)有解

\[\begin{aligned} \iff & \beta \, 可以由\, \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n \,線性表出 \\ \iff & \beta \in <\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n> \end{aligned} \]

3.2 線性相關與線性無關的向量組

1、定義1：\(K^n\)中向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)\)稱為是線性相關的，如果有K中不全為0的數\(k_1,k_2,\dots,k_s\)，使得

\[k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s=\bold 0 \]

2、定義2：\(K^n\)中向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)\)如果不是線性相關的，那麼稱為線性無關的。

3、從定義1和定義2顯得：

（1）包含零向量的向量組一定線性相關\((k\bold 0+\alpha_2+\dots+0\alpha_s=\bold 0)\);

（2）單個向量\(\alpha\)線性相關當且僅當\(\alpha=\bold 0(因為k\alpha=0,k\not=0 \iff\alpha=\bold 0)\);

從而單個向量\(\alpha\)線性無關當且僅當\(\alpha \not= \bold 0\);

（3）\(K^n\)中，向量組

\[\varepsilon_1=\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix}, \varepsilon_2=\begin{bmatrix} 0 \\1\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix},\dots, \varepsilon_n=\begin{bmatrix} 0 \\0\\0\\ \vdots \\0\\1\end{bmatrix}, \]

是線性無關的。

4、向量組線性相關與線性無關區別：

（1）從線性組合看：

\[\begin{aligned} &向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant1)線性相關 \\ \iff&它們有係數不全為0的線性組合等於零向量；\\ \\ &向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)線性無關 \\ \iff&它們只有係數全為0的線性組合才會等於零向量。 \end{aligned} \]

（2）從線性表出看：

\[\begin{aligned} &向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)線性相關 \\ \iff&其中至少有一個向量可以由其餘向量線性表出；\\ \\ &向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)線性無關 \\ \iff&其中每一個向量都不能由其餘向量線性表出。 \end{aligned} \]

（3）從齊次線性方程組看：

\[\begin{aligned} &列向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)線性相關 \\ \iff&齊次線性方程組x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0有非零解；\\ \\ &列向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)線性無關 \\ \iff&齊次線性方程組x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0只有零解。 \end{aligned} \]

（4）從行列式看：

\[\begin{aligned} &n個n維列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)線性相關 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n為列（行）向量組的矩陣的行列式等於零；\\ \\ &n個n維列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)線性無關 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n為列（行）向量組的矩陣的行列式不等於零。 \end{aligned} \]

（5）從向量組線性表出一個向量的方式看：

\[\begin{aligned} 設向量\beta 可以由向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s線性表出，則 \\ 向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s線性無關 \iff&表出方式唯一；\\ 向量組\alpha_1,\dots,\alpha_s線性相關 \iff&表出方式有無窮多種。 \end{aligned} \]

（6）從向量組與它的部分組的關係看：

\[\begin{aligned} &如果向量組的一個部分組線性相關，那麼整個向量組也線性相關。 \\ &如果向量組線性無關，那麼它的任何一個部分組也線性無關。 \end{aligned} \]

（7）從向量組與它的延伸組或縮短組的關係看：

\[\begin{aligned} &如果向量組線性無關，那麼把每個向量添上m個分量（所添分量位置對於每個向量都一樣）得到的延伸組也線性無關。 \\ &如果向量組線性相關，那麼把每個向量去掉m個分量（去掉的分量位置對於每個向量都一樣）得到的縮短組也線性相關。 \end{aligned} \]

5、命題1：設向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性無關，則向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性表出的充分必要條件是\(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta\)線性相關。

推論1：設向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性無關，則向量\(\beta\)不能由\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性表出的充分必要條件是\(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta\)線性無關。

6、替換定理：設向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性無關，\(\beta=b_1\alpha_1,\dots,b_s\alpha_s\)。如果\(b_i\not=0\)，那麼用\(\beta\)替換\(\alpha_i\)後得到的向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\beta,\alpha_{i+1},\dots,\alpha_s\)也線性無關。

3.3 向量組的秩

1、定義1：向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組，如果這個部分組本身是線性無關的，但是從這個向量組的其餘向量（如果還有的話）中任取一個添進去，得到的新的部分組都線性相關。

2、定義2：如果向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的每一個向量都可以由向量組\(\beta_1,\dots,\beta_r\)線性表出，那麼稱向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)可以由向量組\(\beta_1,\dots,\beta_r\)線性表出。如果向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)與向量組\(\beta_1,\dots,\beta_r\)可以相互線性表出，那麼稱向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)與向量組\(\beta_1,\dots,\beta_r\)等價，記作

\[\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\} \]

向量組的等價是向量組之間的一種關係。可以證明其具有以下三種性質：

\[\begin{aligned} &(1)反身性。即任何一個向量組都與自身等價； \\ &(2)對稱性。即如果\alpha_1,\dots,\alpha_s與\beta_1,\dots,\beta_r 等價，那麼\beta_1,\dots,\beta_r與\alpha_1,\dots,\alpha_s等價； \\ &(3)傳遞性。即如果 \\ &\qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\},\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}， \\ &那麼\qquad \qquad \qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}。 \end{aligned} \]

3、命題1：向量組與它的極大線性無關組等價。

推論1：向量組的任意兩個極大線性無關組等價。

推論2：\(\beta\)可以由向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性表出當且僅當\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的一個極大線性無關組線性表出。

4、引理1：設向量組\(\beta_1,\dots,\beta_r\)可以由向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性表出，如果\(r>s\)，那麼\(\beta_1,\dots,\beta_r\)線性相關。

推論3：設向量組\(\beta_1,\dots,\beta_r\)可以由向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性表出，如果\(\beta_1,\dots,\beta_r\)線性無關，那麼\(r\leqslant s\)。

推論4：等價的線性無關的向量組所含向量的個數相等。

推論5：向量組的任意兩個極大線性無關組所含向量的個數相等。

5、定義3：向量組的極大線性無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩。

全由零向量組成的向量組的秩規定為0。

向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的秩記作\(rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\)。

6、命題2：向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)線性無關的充分必要條件是它的秩等於它所含向量的個數。

7、命題3：如果向量組（1）可以由向量組（2）線性表出，那麼：（1）的秩\(\leqslant\)（2）的秩

8、命題4：等價的向量組有相等的秩。（注意：秩相等的向量組不一定等價）

3.4 子空間的基與維數

1、定義1：設U是\(K^n\)的一個子空間，如果\(\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U\),並且滿足下述兩個條件：

\[\begin{aligned} &(1)\alpha_1,\dots,\alpha_r線性無關，\\ &(2)U中每一個向量都可以由\alpha_1,\dots,\alpha_r線性表出， \end{aligned} \]

那麼稱\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)是U的一個基。

顯然，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)是\(K^n\)的一個基，稱它為\(K^n\)的標準基。

2、定理1：\(K^n\)的任一非零子空間U都有一個基。

3、定理2：\(K^n\)的非零子空間U的任意兩個基所含的向量的個數相等。

4、定義2：\(K^n\)的非零子空間U的一個基所含向量的個數稱為U的維數，記作\(dim_K\, U\)，或者\(dim \, U\)。

零子空間的維數規定為0。

因為\(dim \, K^n=n\)，所以稱\(K^n\)為n維向量空間。

對於\(\alpha=a_1\alpha_1+\dots+a_r\alpha_r\)，把有序陣列\((a_1,\dots,a_r )\)稱為\(\alpha\)在基\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)下的座標。

5、命題1：設\(dim \, U=r\)，則U中任意r+1個向量都線性相關。

6、命題2：設\(dim \, U=r\)，則U中任意r個線性無關的向量都是U的一個基。

7、命題3：設\(dim \, U=r\)，設\(\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U\)。如果U中每一個向量都可以由$\alpha_1,\dots,\alpha_r \(線性表出，那麼\)\alpha_1,\dots,\alpha_r $是U的一個基。

8、命題4：設U和W都是\(K^n\)的非零子空間，如果\(U\subseteq W\)，那麼\(dim \, U \leqslant dim \, W\)。

9、命題5：設U和W是\(K^n\)的兩個非零子空間，且\(U\subseteq W\)，如果\(dim \, U = dim \, W\)，那麼\(U= W\)。

10、定理3：向量組\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的一個極大線性無關組是這個向量組生成的子空間\(<\alpha_1,\dots,\alpha_s>\)的一個基，從而

\[dim<\alpha_1,\dots,\alpha_s>=rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}. \]

3.5 矩陣的秩

1、定理1：階梯型矩陣J的行秩與列秩相等，它們都等於J的非零行的個數；並且J的主元所在的列構成列向量的一個極大線性無關組。

2、定理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。

3、定理3：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關性，從而不改變矩陣的列秩。

4、定理4：任一矩陣A的行秩等於它的列秩。

5、定義1：矩陣A的行秩與列秩統稱為A的秩，記作\(rank (A)\)。

6、推論1：設矩陣A經過初等行變換化成階梯型矩陣J，則A的秩等於J的非零行個數。設J的主元所在的列是第\(j_1,j_2,\dots,j_r\)列，則A的第\(j_1,j_2,\dots,j_r\)列構成A的列向量組的一個極大線性無關組。

7、推論2：矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩。

8、定理5：任一非零矩陣的秩等於它的不為零的子式的最高階數。

9、推論3：設\(s\times n\)矩陣A的秩為r，則A的不等於零的r階子式所在的列（行）構成A的列（行）向量組的一個極大線性無關組。

10、推論4：n級矩陣A滿秩的充分必要條件是\(|A|\not=0\)。

3.6 線性方程組有解的充分必要條件

1、定理1（線性方程組有解判別定理）：數域K上線性方程組

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} \]

有解的充分必要條件是：它的係數矩陣與增廣矩陣的秩相等。

2、定理2：數域K上n元線性方程組（1）有解時，如果它的係數矩陣等於n，那麼方程組（1）有唯一解；如果A的秩小於n，那麼方程組（1）有無窮多個解。

推論1：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：它的係數矩陣的秩小於未知量的個數。

3.7 齊次線性方程組的解集的結構

數域K上n元齊次線性方程組

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{1} \]

的一個解是\(K^n\)中一個向量，稱它為齊次線性方程組（1）的一個解向量。齊次線性方程組（1）的解集W是\(K^n\)的一個非空子集。

性質1：若\(\gamma,\delta \in W\)，則\(\gamma+\delta \in W.\)

性質2：\(若\gamma \in W,k \in K,則k\gamma \in W.\)

由上述得，齊次線性方程組（1）的解集W是\(K^n\)的一個子空間，稱它為方程組（1）的解空間。如果方程組（1）的係數矩陣A的秩等於n，那麼\(W=\{\bold 0 \}\)。如果\(rank(A)<n\)，那麼W是非零子空間。從而W有基。把解空間W的一個基稱為齊次線性方程組（1）的一個基礎解系，即：

定義1：齊次線性方程組（1）有非零解時，如果它的有限多個解\(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t\)滿足：

\[\begin{aligned} &(1)\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 線性無關；\\ &(2)齊次線性方程組（1）的每一個解都可以由\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 線性表出， \end{aligned} \]

那麼稱\(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t\)是齊次線性方程組（1）的一個基礎解系。其解集W表示為：

\[W=\{k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \,|\,k_i \in K,i=1,2,\dots,t\}. \]

通常也說齊次線性方程組（1）的全部解是：

\[k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \, ,\,k_1,k_2,\dots,k_i \in K \]

定理1：數域K上n元齊次線性方程組的解空間W的維數為

\[dim \, W=n-rank(A),\tag{2} \]

其中A是方程組的係數矩陣。從而當齊次線性方程組（1）有非零解時，它的每個基礎解系所含解向量的個數都等於\(n-rank(A)\)。

3.8 非齊次線性方程組的解集的結構

對於數域K上n元非齊次線性方程組

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} \]

設其解集為U。為此考慮相應的齊次線性方程組

\[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{2} \]

稱它為非齊次線性方程組（1）的匯出組。匯出組的解空間用W表示。

性質1：若\(\gamma,\delta \in U\)，則\(\gamma-\delta \in W.\)

性質2：\(若\gamma \in U,\eta \in W,則\gamma+\eta \in U.\)

定理1：如果數域K上n元非齊次線性方程組（1）有解，那麼它的解集U為

\[U=\{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\}, \tag{3} \]

其中\(\gamma_0\)是非齊次線性方程組（1）的一個解（稱\(\gamma_0\)是特解），W是方程組（1）的匯出組的解空間。

我們把集合\(\{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\}\)記作\(\gamma_0+W\)。稱它是一個W型的線性流形（或子空間W的一個陪集），把\(dim\,W\)稱為線性流形\(\gamma_0+W\)的維數。

注：U不是子空間，因為U對於加法和數乘都不封閉。

推論1：如果n元非齊次線性方程組（1）有解，那麼它的解唯一的充分必要條件是：它的匯出組（2）只有零解。