線性相關性

線性組合

定義：若,使則稱向量為向量組的一個線性組合

也稱可經向量組線性表出

n維單位向量

任一n維向量都是向量組的一個線性組合

向量稱為n維單位向量

注：零向量是任一向量組的線性組合

向量組線性表出

定義：若向量組中每個向量都可經向量組線性表出,則稱向量組可經向量組線性表出,若兩個向量組互相可線性表出,則稱它們等價

注：若向量組可經向量組線性表出,向量組可經向量組線性表出,則向量組可經向量組線性表出

證明：

向量組等價的性質：

1.自反性：每個向量組都與它自身等價

2.對稱性：若向量組與等價,那向量組也與等價

3.傳遞性：若向量組與等價,與等價,則向量組與等價

線性相關

定義1：若向量組中有一個向量可以由其餘的向量線性表出,則向量組稱為線性相關的

注：任一包含零向量的向量組一定是線性相關的

定義2：若有數域P中不全為零的數使,則稱向量組線性相關

注：向量構成的向量組線性相關即

證明：定義1定義2在時一致

證明：

性質：若一向量組的一部分線性相關,則這個向量組線性相關

證明：

線性無關

定義1：若沒有不全為零的數使,則稱向量組線性無關

定義2：若由可推出,則稱向量組線性無關

注：

1.若一向量組線性無關,則它的任一非空部分組線性無關

2.n維單位向量組成的向量組線性無關

證明：

線性相關判別

判別一個向量組是否線性相關

即判別方程有無非零解

對應齊次線性方程組有無非零解

向量組線性無關的充要條件為齊次線性方程組只有零解

注：若向量組線性無關,則在每個向量上添一個分量得n+1維向量組也線性無關

定理：給定兩個向量組與滿足：

1.可經線性表出

2.

則線性相關

證明：

幾何意義：

1.在三維空間,若s=2,可以由線性表出的向量顯然在所在平面上,它們共面,時,它們線性相關,兩個向量組與等價意味著它們在同一平面上

推論1：若向量組可經向量組線性表出,且線性無關,則

推論2：任意n+1個n維向量必線性相關

證明：

推論3：兩個線性無關的等價向量組必含有相同個數的向量

極大線性無關組

定義：若一向量組的一個部分組是線性無關的,且從這向量組中任意添一個向量,所得的部分向量組都線性相關,則稱該部分組為極大線性無關組

注：

1.一個線性無關向量組的極大線性無關組就是這個向量組本身

2.向量組的極大線性無關組不是唯一的

3.一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的

4.含非零向量的向量組一定有極大線性無關組,且任一無關的部分組都可擴充成一個極大線性無關組

5.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關組

性質：任意一個極大線性無關組與向量組本身等價

證明：

定理：一向量組的極大無關組都含有相同個數的向量

向量組的秩

定義：向量組的極大線性無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩

注：

1.一向量組線性無關的充要條件為它的秩與它所含向量個數相同

2.等價的向量組必有相同的秩

3.全部由零向量組成的向量組秩為零

方程組與向量

給定方程組

各個方程所對應的向量分別為,,,

設方程

對應向量為

則是的線性組合當且僅當

即方程是方程的線性組合,顯然方程組的解一定滿足

設方程組

各個方程所對應的向量分別為

若可經線性表出,則方程組的解是方程組的解

當與等價時兩個方程組同解