高等代數的主要內容是線性代數，主線是線性空間和線性對映。
以n 元線性方程組為出發點，可以得到方程組的係數矩陣和增廣矩陣，消元法解方程的過程可以看成對 n維向量的操作，而 n 維向量的集合中定義加法和數量乘法可以構成一個 n 維向量空間，為了解決更為廣泛的問題，我們進一步抽象成線性空間。
而線性空間之間存在保持加法和數量乘法的對映，我們稱之為線性對映，選擇了特定的基，對線性對映的研究可以轉化為對矩陣的研究，相應地，矩陣也對應線性對映。
此外線性空間還可以定義距離和夾角等度量，向量的內積提供了有效的工具，內積實質上是一種雙線性函式，有了雙線性函式，我們就可以定義具有度量的線性空間，實數域上具有度量的線性空間稱為歐幾里得空間，複數域上具有度量的線性空間稱為酉空間。
一個線性空間到其自身的線性對映稱為線性變換，例如歐幾里得空間中正交變換、對稱變換和酉空間中的酉變換和Hermite變換。
