高等代數理論基礎24:線性方程組有解判別定理
線性方程組有解判別定理
給定線性方程組
引入向量,,,,
線性方程組可改寫成向量方程
線性方程組有解的充要條件為向量可表成向量組的線性組合
線性方程組有解判別定理
定理:線性方程組有解的充要條件為它的係數矩陣
與增廣矩陣
有相同的秩
證明:
與消元法
另:判別條件與消元法一致
與Cramer法則
給定線性方程組有解
A與的秩都等於r,D是A的一個不為零的r級子式
不妨設D位於A的左上角
顯然的前r行為一個極大線性無關組
第行都可經它線性表出
方程組與同解
時,由Cramer法則,方程組有唯一解
時,改寫方程組為
為的一個方程組,係數行列式,由Cramer法則,對於的任意一組值,方程組有唯一解
就是方程組的一組自由未知量,用Cramer法則可解出
即為方程組的一般解
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