高等代數理論基礎24:線性方程組有解判別定理

weixin_34007020發表於2019-01-05

線性方程組有解判別定理

給定線性方程組

引入向量,,,,

線性方程組可改寫成向量方程

線性方程組有解的充要條件為向量可表成向量組的線性組合

線性方程組有解判別定理

定理:線性方程組有解的充要條件為它的係數矩陣

與增廣矩陣

有相同的秩

證明:

與消元法

另:判別條件與消元法一致

與Cramer法則

給定線性方程組有解

A與的秩都等於r,D是A的一個不為零的r級子式

不妨設D位於A的左上角

顯然的前r行為一個極大線性無關組

第行都可經它線性表出

方程組與同解

時,由Cramer法則,方程組有唯一解

時,改寫方程組為

為的一個方程組,係數行列式,由Cramer法則,對於的任意一組值,方程組有唯一解

就是方程組的一組自由未知量,用Cramer法則可解出

即為方程組的一般解

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