線性方程組 入門概念

Nolca發表於2024-11-16

解釋如下概念

  • 入門對比
    1. 齊次vs非齊次
    2. 線性vs非線性
    3. 微分vs求導vs積分
    4. 方程組vs矩陣乘法
  • 齊次線性方程組
    1. 永遠存在零解
    2. 基礎解系vs通解
    3. 存在非零解↔︎A不滿秩
    4. r(A) + η的數量 = n (x的列有多長)
  • 非齊次線性方程組
    1. Ax=b 的2個解互減，即 ξ₁-ξ₂ 是 Ax=0匯出組 的解
    2. Ax=b 的解 ξ+kη ，其中 k∈R，η是Ax=0的解
    3. Ax=b 有解 ↔︎ rA = r[A,b]增廣矩陣
    4. Ax=b 無解 ↔︎ rA = r[A,b]-1

入門對比

齊次vs非齊次

所有x的階數/次方相同

  1. k次齊次函式： f(λx₁+λx₂+...+λxₙ)=λᵏ · f(x₁+x₂+...+xₙ)

    • 0次齊次函式 \(\frac{y}{x}\)=\(\frac{λy}{λx}\)=λ⁰·\(\frac{y}{x}\)
    • 1次齊次函式 = 線性函式 f(x₁,x₂,x₃...)=k₁x₁+k₂x₂+k₃x₃=λ¹·f(x₁,x₂,x₃...)
    • 2次齊次函式 = 二次型 = 雙線性
      f(x,y) = 類(x+y)² = ax²+bxy+cy² = λ²·f(x,y)
      f(x₁,x₂,x₃...)=ΣΣkᵢⱼ xᵢ xⱼ=λ²·f(x₁,x₂,x₃...)

  2. 齊次方程: 齊次函式=0
    非齊次方程: 齊次函式=b=x⁰

  3. 聯立這些(非)齊次方程，得(非)齊次方程組

線性vs非線性

  1. 線性: 加性，齊次比例性
  2. 齊次非線性方程
    $ F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 $
    這裡 $ F $ 是一個非線性函式，$ y $ 是未知函式，$ y', y'', \ldots, y^{(n)} $ 分別表示 $ y $ 的一階、二階、……、$ n $ 階導數。

    1. 一階齊次非線性微分方程：
      $ y' = f\left(\frac{y}{x}\right) $
      這是一個常見的齊次非線性方程形式，其中 $ f $ 是一個非線性函式。

    2. 二階齊次非線性微分方程：
      $ y'' + y^3 = 0 $
      這裡 $ y'' $ 表示 $ y $ 的二階導數，$ y^3 $ 是 $ y $ 的三次冪，這是一個非線性項。

    3. 更高階齊次非線性微分方程：
      $ y''' + (y')^2 + y^4 = 0 $
      這個方程包含 $ y $ 的三階導數、一階導數的平方以及 $ y $ 的四次冪，都是非線性項。

微分vs求導vs積分

  1. 微分dx，求導y'=\(\frac{dy}{dx}\)，積分∫x dx
  2. 微分方程(即有求導)
    1. 微分方程中的齊次
      此處的“齊次”通常指的是方程中沒有自由項（即不依賴於未知函式及其導數的項）。如：y′′+ p(x) y′+ q(x) y=0

TODO 待複習：微分定義

方程組vs矩陣乘法

線性方程組 與 矩陣乘法Ax=b 可以互相轉換

齊次線性方程組

永遠存在零解

非齊次 不存在 零解，因為Ax=b，右側不是0，而是b；所以非齊次會有“無解”的可能，而齊次至少有“零解”

flowchart LR q(齊次) --> 0[零解] q --> f0[非零解]
flowchart RL f(非齊次) --> n[無解] f --> y[有解]

基礎解系vs通解

  1. 解，或解向量，如：

\[η= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \end{bmatrix} \]

其中v1~vn為具體的數值(value)
與x1~xn一一對應

  1. 基礎解系，或基向量，由一系列線性無關的解向量組成的解空間，如：η₁,η₂,η₃,...

    • 線性無關，是保證 η₁,η₂,η₃... 始終是極大線性無關組，即不能有重複解
    • 零空間是 Ax=0 的所有 x 組成的空間

  2. 通解，因為存在非零解，所以A不滿秩，造成x1~xn內有一部分自由項。如：

\[\vec{x}=f_3 \begin{bmatrix} v_{1}=a \\ v_{2}=b \\ v_3=1 \\ v_4=0 \\ \end{bmatrix} + f_4 \begin{bmatrix} c \\ d \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \]

其中有2個自由項x3,x4，對應f3,f4(也可以換成i,j)
有通解，也表示解在約束條件下，是無窮盡的。解不唯一

存在非零解↔︎A不滿秩↔︎rA<n

係數矩陣 \(A_{m×n}\)

  • A滿秩，此時x1~xn不自由，只有η=0的零解
  • A不滿秩，此時x1~xn有自由項，存在 n-rA 個非零解。解與係數矩陣的秩(約束)，呈 此消彼長，即rA越大，對解的約束越多，x1~xn越不自由，解η的數量就越少。

複習書上寫了些廢話：

  • m<n，橫長方形的A，則Ax=0必有非零解
  • m=n，A為方陣，行列式|A|=0 (只有方陣，才能計算行列式、逆矩陣)

非齊次線性方程組

Ax=b 有解 ↔︎ rA = r[A,b]

b可由A的列向量線性表出
新加入的b列，不會擾亂原有的秩序

  • 只有特解作唯一解：rA = r[A,b] = n
  • 多個解：rA = r[A,b] < n

Ax=b 無解 ↔︎ rA = r[A,b]-1

假如A化成最簡型，那麼方程組的最後一個方程會是 0=b，這樣就無解了。
就因為加入的一列，所以就解不出來了。那就應該是增秩了。

不能用滿秩來判斷無解，可以說當rA=n時，A與[A,b]都恰好滿秩。但無解只需要rA = r[A,b]-1

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