本節內容都是一些定義，實際上我們之前已經接觸過了。讓我們總結一下：

linear independent 線性獨立

給定一組向量 { v 1 , v 2 , . . . , v n } \{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\} {v1​,v2​,...,vn​}，若
$$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+...+c_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}=0$$

僅有零解 $c_1=c_2=...=c_n=0$, 則我們稱 { v 1 , v 2 , . . . , v n } \{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\} {v1​,v2​,...,vn​} 線性獨立。否則，線性相關。

spanning a space

給定一組向量 { v 1 , v 2 , . . . , v n } \{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\} {v1​,v2​,...,vn​}，他們張成（span）的空間即為它們線性組合後的向量構成的空間。

basis

一個vector space的basis是一組滿足以下兩個條件的向量 { v 1 , v 2 , . . . , v n } \{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\} {v1​,v2​,...,vn​}

1. linear independent.
2. span the vector space.

換句話說，$n$ 是這個空間內最大的線性無關的向量組中向量的個數。

我們經常使用的basis是standard basis, e.g., $[1,0,0{]}^{\top },[0,1,0{]}^{\top },[0,0,1{]}^{\top }$.

dimension

就是上面的 $n$了，通常寫作 $\text{dim}(V)=n$, 其中 $V$ 是一個vector space.

over，這節課就是這麼簡單~~