在本系列中，我的個人見解將使用斜體標註。每篇文章的最後，我將選擇摘錄一些例題。由於文章是我獨自整理的，缺乏審閱，難免出現錯誤，如有發現歡迎在評論區中指正。
Part 1：積空間
積空間與和空間都是把多個向量空間聯絡在一起的工具，最後也會給出它們的聯絡。
向量空間的積(product of vector spaces) 設\(V_1,\cdots,V_m\)都為\(\mathbb{F}\)上的向量空間，規定它們的積為
又被稱為笛卡爾直積，在規定了向量空間積上的加法、標量乘法後，向量空間的積空間也成為向量空間。
-
\(V_1\times\cdots\times V_m\)上的加法：
\[(u_1,\cdots,u_m)+(v_1,\cdots,v_m)=(u_1+v_1,\cdots,u_m+v_m). \] -
\(V_1\times \cdots\times V_m\)上的乘法：
\[\lambda(v_1,\cdots,v_m)=(\lambda v_1,\cdots,v_m). \]
要把積空間上的元素與\(m\)元組區分開。\(m\)元組中每一個分量都是\(\mathbb{F}\)上的數，積空間上的元素每一個分量都是\(V_i(\mathbb{F})\)上的向量，因此二者的維數是不同的。
積的維數等於維數的和 設\(V_1,\cdots,V_m\)都是有限維向量空間，則\(V_1\times \cdots\times V_m\)都是有限維的，且
證明這個結論，只需要找到\(V_1\times\cdots V_m\)的一組基即可。設\(e_{i,k}\)是\(V_i\)上的第\(k\)個基向量，則
\[\begin{matrix} (e_{1,1},\cdots,0) & \cdots & (e_{1,\dim V_1},\cdots,0) \\ \vdots & & \vdots \\ (0,\cdots,e_{m,1}) & \cdots & (0,\cdots,e_{m,\dim V_m}) \end{matrix} \]以上向量陣中第\(i\)行擁有\(\dim V_i\)個元素，且容易證明它們線性無關、張成\(V_1\times\cdots\times V_m\)，所以是積空間的一組基。
積空間與和 設\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子空間，線性對映\(\Gamma:U_1\times\cdots\times U_m\to U_1+\cdots+U_m\)定義為
則\(U_1+\cdots+U_m\)是直和當且僅當\(\Gamma\)是單射。
單射代表\(\mathrm{null}\Gamma=\{(0,\cdots,0)\}\)，即\(u_1+\cdots+u_m=0\)當且僅當每一個\(u_i=0\)，故\(0\)的表示方式唯一，\(U_1+\cdots+U_m\)是直和。反之類似。
和為直和的條件 設\(V\)是有限維的，且\(U_1,\cdots,U_m\)均為\(V\)的子空間，則\(U_1+\cdots+U_m\)是直和當且僅當
此為上一條的直接推論，上面\(\Gamma\)是滿的顯然。
先證必要性。只要\(U_1+\cdots+U_m\)是直和，則\(\Gamma\)是單射，\(\Gamma\)是積空間與和空間的同構，它們維數相同，就有
\[\dim(U_1+\cdots+U_m)=\dim(U_1\times\cdots\times U_m)=\dim U_1+\cdots+\dim U_m. \]再證充分性。只要這個維數公式成立，則和空間與積空間是同構的，由線性對映基本定理，
\[\dim (U_1\times\cdots\times U_m)=\dim\mathrm{null}\Gamma+\dim\mathrm{range}\Gamma, \]又\(\Gamma\)是滿的，所以\(\dim\mathrm{null}\Gamma=0\)，證明了\(\Gamma\)是單射，於是\(U_1+\cdots+U_m\)是直和。
Part 2：商空間
商空間可以看作是線性空間的擴充套件，使非線性空間也稱為某個集合中的元素，並構成一個線性空間。
向量與子空間的和 設\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空間，則\(v+U\)是\(V\)的子集，定義為
顯然，如果\(v\notin U\)，則\(0\notin v+U\)，故此時\(v+U\)不是向量空間。
仿射子集(affine subset) \(V\)的仿射子集是\(V\)的形如\(v+U\)的子集，其中\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空間。
平行(parallel) 對於\(v\in V\)和\(V\)的子空間\(U\)，稱仿射子集\(v+U\)平行於\(U\)。
在二維或者三維空間上，平行有直觀的幾何意義，但此時給出的平行必須有相同的維數。
商空間(quotient space) 設\(U\)是\(V\)的子空間，則\(V/U\)是指\(V\)的所有平行於\(U\)的仿射子集構成的集合，即
典型例子是，齊次線性方程組的解空間構成一個子空間，對應的非齊次線性方程組的解空間，就是平行於上述子空間的一個仿射子集，所有這樣的仿射子集構成商空間。所以說，商空間並非一個單獨的集合，而是多個集合構成的集合。並且，商空間裡的元素並不全是向量空間。
相關結論：設\(U\)是\(V\)的子空間，\(v,w\in V\)，則以下陳述等價：
- \(v-w\in U\)；
- \(v+U=w+U\)；
- \((v+U)\cap (w+U)\ne \emptyset\)。
在低維空間上，這是很好理解的，給出了兩個平行仿射子集相等的條件。
\(1\Rightarrow 2\)：若\(v-w=u\in U\)，則\(\forall v'\in v+U\)，存在\(u'\in U\)使得\(v'=v+u'=w+u+u'\)，從\(u+u'\in U\)得\(v'\in w+U\)，這就證明了\(v+U\subset w+U\)，反之可得\(w+U\subset v+U\)，所以
\[v+U=w+U. \]\(2\Rightarrow 3\)：顯然，因為\(v\in v+U\)，所以\(v+U\ne \emptyset\)，那麼相同的集合自然有相交元素。
\(3\Rightarrow 1\)：若\(u\in v+U\)且\(u\in w+U\)，則\(\exists u_1,u_2\in U\)使得
\[u=v+u_1=w+u_2, \]所以
\[v-w=u_2-u_1\in U. \]
為了使商空間是向量空間，給出商空間上的加法和乘法定義。
- 商空間上的加法：\((v+U)+(w+U)=v+w+U\)；
- 商空間上的標量乘法：\(\lambda(v+U)=\lambda v+U\)。
上述定義不能保證是有意義的，如果按照某個定義，兩個相同的元素相加得不出確定的結果，則此定義是沒有意義的。下證商空間上的加法和標量乘法是有意義的。
證明商空間上的加法有意義，即證明\(\forall v,w,\hat v,\hat w\)，如果
\[v+U=\hat v+U,\quad w+U=\hat w+U, \]則
\[v+w+U=\hat v+\hat w+U. \]由相關結論，有\(v-\hat v\in U,w-\hat w\in U\)，所以
\[v+w-(\hat v+\hat w)=(v-\hat v)+(w-\hat w)\in U, \]故\((v+w+U)=(\hat v+\hat w+U)\)成立。
證明商空間上的標量乘法有意義，即證明\(\forall v_1,v_2,\lambda\)，如果
\[v_1+U=v_2+U, \]則
\[\lambda v_1+U=\lambda v_2+U. \]依然可以由相關結論給出證明。
商空間是向量空間 在上述的加法和乘法定義下，商空間是向量空間。
加法單位元是\(0+U=U\)，滿足對任何\(v+U\)，有
\[(v+U)+(0+U)=(v+0)+U=v+U. \]加法封閉性與標量乘法封閉性，本質是\(V\)上的封閉性，只要寫出條件就容易證明。
合理的運算定義比起驗證向量空間更重要，即好的開端是成功的一半。
商對映(quotient map) 設\(U\)是\(V\)的子空間，則商對映定義為\(\pi:V\to V/U\)，它使得\(\forall v\in V\)，
商對映中必須規定好\(U\)和\(V\)，由於商空間上運算的定義，商對映是一個線性對映。
\[\pi(v+w)=v+w+U=(v+U)+(w+U)=\pi(v)+\pi(w),\\ \pi(\lambda v)=\lambda v+U=\lambda(v+U)=\lambda\pi(v). \]
容易驗證\(\pi\)是滿射，且\(\forall u\in U\)，\(\pi(u)=\pi(0)\)。由商對映的線性對映基本定理，有
於是得到商空間的維數為
事實上，由於\(U\)是\(V\)的子集，所以\(U\)的基可以擴充套件成為\(V\)的基，設新增加的部分是\(v_1,\cdots,v_n\)，則則商空間的一組基就是\(\pi(v_1),\cdots,\pi(v_n)\)。
現在來看這個困擾人的\(\tilde T\)線性對映，要理解這個\(\tilde T\)，可以聯想線性方程組。我們前面說過，商空間可以看成是齊次線性方程組的解空間的平行仿射子集構成的集合，那麼，\(V/(\mathrm{null}T)\)裡的每一個元素，事實上對應著一個非齊次線性方程組的解空間，\(v+\mathrm{null}T\)中，這個\(v\)表示的就是非齊次線性方程組的特解，\(Tv\)就對應著右端係數列。\(\tilde T\)將\(V\)上任一向量，對映到給定線性方程組下的右端係數向量。
\(\tilde T\) 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，定義\(\tilde T:V/(\mathrm{null}T)\to W\)為
由斜體部分的分析，\(\tilde T\)是有意義的，並且還是線性對映，下面我們來證明它。
如果\(v+\mathrm{null}T=w+\mathrm{null}T\)，則\(v-w\in\mathrm{null}T\)，所以
\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=Tv+T(w-v)=Tw=\tilde T(w+\mathrm{null}T). \]這說明\(\tilde T\)是合理的。下證明\(\tilde T\)還是一個線性對映。
加性：
\[\begin{aligned} &\quad \tilde T((v+\mathrm{null}T)+(w+\mathrm{null}T)) \\ &=\tilde T(v+w+\mathrm{null}T) \\ &=T(v+w) \\ &=Tv+Tw\\ &=\tilde T(v+\mathrm{null}T)+\tilde T(w+\mathrm{null}T). \end{aligned} \]齊性：
\[\tilde T(\lambda(v+\mathrm{null}T))=\tilde T(\lambda v+\mathrm{null}T)=T(\lambda v)=\lambda Tv=\lambda \tilde T(v+\mathrm{null}T). \]線性性得證。
\(\tilde T\)的零空間和值域 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則
- \(\mathrm{null}\tilde T=\mathrm{null}T\)，即\(\tilde T\)是單射。（但這裡不能說\(\tilde T\)與\(T\)有相同的零空間，因為\(\mathrm{null}T\)只是\(V/\mathrm{null}T\)中的一個元素）
- \(\mathrm{range}\tilde T=\mathrm{range}T\)，即\(T\)與\(\tilde T\)有相同的值域。
- \(V/\mathrm{null}T\)與\(\mathrm{range}T\)同構。
1、設\(v\in V\)，且\(v+\mathrm{null}T\in \mathrm{null}\tilde T\)。則
\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=0, \]則\(v\in\mathrm{null}T\)，所以
\[\mathrm{null}\tilde T=v+\mathrm{null}T=0+\mathrm{null}T=\mathrm{null}T. \]2、\(\forall v\in V\)，
\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv\in\mathrm{range}T, \]所以\(\mathrm{range}\tilde T\subset \mathrm{range}T\)。另一方面，\(\forall w\in \mathrm{range}T\)，\(\exists v\in V\)使得\(Tv=w\)，則
\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=w, \]所以\(w\in \mathrm{range}\tilde T\)，也即\(\mathrm{range}T=\mathrm{range}\tilde T\)。
3、對\(\tilde T\)，將其視為到\(\mathrm{range}T\)上的對映，則\(\tilde T\)是一個同構。
另外，如果\(\mathrm{range}T\)是有限維的，則由線性對映基本定理有
\[\dim(V/\mathrm{null}T)=\dim\mathrm{null}\tilde T+\dim\mathrm{range}\tilde T=\dim\mathrm{range}T, \]這就說明\(V/\mathrm{null}T\)與\(\mathrm{range}T\)維數相同，即同構。
Part 3：多項式
由於線性泛函部分的內容較多，調換一下順序，對結構不影響。多項式部分，掌握基礎結論即可，證明不是線性代數方面的重點。
實部(real part)與虛部(imaginary part) 設\(z=a+b\mathrm{i}\)，則記\(z\)的實部和虛部為
- \(\forall z\in\mathbb{C}\)，\(z=\Re(z)+\Im(z)\mathrm{i}\)。
複共軛(complex conjugate) 設\(z\in\mathbb{C}\)，則記\(z\)的複共軛為
絕對值(absolute value) 設\(z\in\mathbb{C}\)，則記\(z\)的絕對值為
複數的相關性質：
-
\(z+\bar z=2\Re(z)\)。
-
\(z-\bar z=2\Im(z)\mathrm{i}\)。
-
\(z\bar z=|z|^2\)。
-
複共軛具有可加性和可乘性，即
\[\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\\ \overline{zw}=\bar z\bar w. \] -
\(\bar{\bar z}=z\)。
-
複數的實部和虛部有界於\(|z|\)，即
\[\Re(z)\le |z|,\quad \Im(z)\le |z|. \] -
複共軛的絕對值與原複數的絕對值相等，即
\[|\bar z|=|z|. \] -
\(|wz|=|w||z|\)。
-
三角不等式：
\[|w+z|\le |w|+|z|. \]
零函式 設\(a_0,\cdots,a_m\in\mathbb{F}\)，若\(\forall z\in\mathbb{F}\)，均有
則\(a_0=\cdots=a_m=0\)。
次數(degree) 若一個多項式可以寫成
的形式，則稱此多項式的次數為\(m\)，即\(\mathrm{deg}p=m\)。
- 規定\(0\)多項式的次數為\(-\infty\)，\(\forall m\in\mathbb{Z}\)，有\(-\infty <m\)和\(-\infty +m=-\infty\)。
- \(\mathrm{deg}(pq)=\mathrm{deg}p+\mathrm{deg}q\)。
多項式的帶餘除法 設\(p,s\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(s\ne 0\)，則存在唯一的多項式\(q,r\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，使得
這個定理是下面結論的基礎，且證明方式可以使用線性代數的方法，因此摘錄於此。
設\(\mathrm{deg}p=n\)，\(\mathrm{deg}s=m\)。如果\(n<m\)，則取\(q=0,r=p\)，帶餘除法就成立。
當\(n\ge m\)時，定義\(T:\mathcal P_{n-m}(\mathbb{F})\times \mathcal P_{m-1}(\mathbb{F})\to \mathcal P_n(\mathbb{F})\)為
\[T(q,r)=sq+r. \]要驗證此\(T\)是既單又滿的。
先證明\(T\)是單射，若\((q,r)\in\mathrm{null}T\)，則\(sq+r=0\)，這表明\(q=0\)且\(r=0\)，否則\(\mathrm{deg}(sp)=nm\ge m>\mathrm{deg}r\)，不可能有\(sq=-r\)。於是\(T\)是單射。
再證明\(T\)是滿射，由線性對映基本定理，對\(T\)有
\[\dim(\mathcal P_{n-m}(\mathbb{F})\times\mathcal P_{n-1}(\mathbb{F}))=n+1=\dim\mathrm{range}(T)=\dim\mathcal P_n(\mathbb{F}), \]因此\(T\)是滿射，結論得證。
零點(zero) 如果對\(\lambda \in\mathbb{F}\)有\(p(\lambda)=0\)，則稱\(\lambda\)是\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)的零點。
因式(factor) 如果存在多項式\(q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)使得\(p=sq\)，則稱\(s\)是\(p\)的因式。
零點與因式的對應關係 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(\lambda \in\mathbb{F}\)，則\(p(\lambda)=0\)當且僅當存在多項式\(q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，使得對每個\(z\)，都有
多項式零點的個數上限 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(\mathrm{deg}p=m\ge 0\)，則\(p\)在\(\mathbb{F}\)中至多有\(m\)個互不相同的零點。
代數學基本定理 每個非常數的復係數多項式都有零點。
\(\mathbb{C}\)上多項式的分解 若\(p\in\mathcal P(\mathbb{C})\)是非常數多項式，則\(p\)可以唯一分解為
其中\(c,\lambda_1,\cdots,\lambda_m\in\mathbb{C}\)。這裡的唯一性是不計因式順序的。
\(\mathbb{R}\)上多項式的零點成對出現 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{C})\)是實係數多項式，若\(\lambda\in\mathbb{C}\)是\(p\)的零點，則\(\bar \lambda\)也是\(p\)的零點。
\(\mathbb{R}\)上二次多項式的分解 設\(b,c\in\mathbb{R}\)，則存在\(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}\)使得分解式
成立的充要條件是\(b^2-4c>0\)。
\(\mathbb{R}\)上多項式的分解 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)是非常數多項式，則\(p\)可以唯一分解為
這裡\(c,\lambda_1,\cdots,\lambda_m,b_1,c_1,\cdots,b_M,c_M\in\mathbb{R}\)，且\(\forall j=1,\cdots,M\)，有\(b_j^2<4c_j\)。
例題
第一題（3.E 1） 設\(T\)是\(V\)到\(W\)的函式，定義\(T\)的圖為\(V\times W\)的如下子集：
證明\(T\)是線性對映當且僅當\(T\)的圖是\(V\times W\)的子空間。
必要性：若\(T\)是線性對映，則\(\forall (v,Tv),(w,Tw)\in G_T\)，
\[(v,Tv)+(w,Tw)=(v+w,Tv+Tw)=(v+w,T(v+w))\in G_T,\\ \lambda (v,Tv)=(\lambda v,\lambda Tv)=(\lambda v,T(\lambda v))\in G_T,\\ (0,0)=(0,T(0))\in G_T. \]充分性：若\(G_T\)是子空間，則
\[(v,Tv)+(w,Tw)=(v+w,Tv+Tw)\in G_T, \]即\(T(v+w)=Tv+Tw\)；
\[\lambda(v,Tv)=(\lambda v,\lambda Tv)\in G_T, \]即\(T(\lambda v)=\lambda Tv\)。
第二題（3.E 8） 證明\(V\)的非空子集\(A\)是\(V\)的仿射子集當且僅當對所有的\(v,w\in A\)和\(\lambda \in\mathbb{F}\)，都有
即說明仿射子集具有凸組合性。
必要性：設\(A=v_0+U\)，\(v_0\in V\)，則
\[v=v_0+u_1,\quad w=v_0+u_2,\quad u_1,u_2 \in A. \]於是
\[\lambda v+(1-\lambda )w=v_0+(\lambda u_1+(1-\lambda )u_2)\in A. \]充分性：設\(u=w-v\)，取\(U=\mathrm{span}(u)\)，則\(w=u+v\)。而
\[\lambda v+(1-\lambda )w=\lambda v+(1-\lambda )u+(1-\lambda)v=v+(1-\lambda)u\in v+U. \]所以取\(A=v+\mathrm{span}(U)\)，即證明\(V\)是仿射子集。