- 1.拉普拉斯變換
- 2. 拉普拉斯收斂域
- 3.導數的拉普拉斯變換
- 5.傳遞函式
- 6.電感電阻電路
- 7. 控制系統傳遞函式
- 8.非零初始狀態的傳遞函式
1.拉普拉斯變換
\[\mathscr{L} [f(t)]=F(s)=
\int ^ \infty _0 f(t) e^{-st}dt
\]
$s=\sigma + j \omega $ 是一個複數
簡單例子 ，證明 \(\mathscr{L} [e^{-at}]=\frac {1}{s+a}\)
\[\mathscr{L} [e^{-at}]
=\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-st} dt
=\int ^ \infty _0 e^{-(a+s)t} dt \\
=-\frac{1}{s+a} e^{-(a+s)t} \Big|^ \infty _0 = \frac{-a}{s+a} \\
= - \frac{1}{s+a} \lim_{b \to \infty} e^{-(s+a)t} -(-\frac{1}{s+a}e^0 \\
=\frac {1}{s+a}
\]
2. 拉普拉斯收斂域
把$s=\sigma + j \omega $ 代入 \(F(s)=\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-st} dt\)
\[F(s)=\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-st} dt
=\int ^ \infty _0 e^{-at} e^{-(\sigma + j \omega)t} dt
=\int ^ \infty _0 e^{-(a+\sigma)t} e^{- j \omega t} dt
\]
上式積分項中的第二項 $ e^{-j \omega t } $是旋轉向量，可以根據尤拉公式展開，是週期函式，不影響收斂。
積分項中的第一項的指數 $-(a+\sigma)<0 $ ,才能保證積分收斂。所以, $ \sigma >-a$ 是上述變換的收斂域。
3.導數的拉普拉斯變換
函式 $ f(t) $ 的導數的拉普拉斯變換是拉普拉斯變換理論中的一個重要性質。如果 $ f(t) $ 及其導數 $ f'(t) $ 都是分段光滑且指數階的，那麼 $ f'(t) $ 的拉普拉斯變換可以表示為：
\[\mathscr{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^+)
\]
其中，$ F(s) $ 是 $ f(t) $ 的拉普拉斯變換，$ f(0^+) $ 是 $ f(t) $ 在 $ t = 0 $ 處的值。
這個性質說明，函式導數的拉普拉斯變換等於 $ s $ 乘以該函式的拉普拉斯變換減去該函式在 $ t = 0 $ 時的值。這個公式在求解微分方程的拉普拉斯變換時非常有用。
推導過程
假設 $ f(t) $ 是一個分段光滑且指數階的函式，那麼它的拉普拉斯變換定義為：
\[F(s) = \mathscr{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt
\]
現在，我們要求 $ f'(t) $ 的拉普拉斯變換：
\[\mathscr{L}\{f'(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f'(t) \, dt
\]
使用分部積分法，令 $ u = e^{-st} $ 和 $ dv = f'(t) dt $，則 $ du = -se^{-st} dt $ 和 $ v = f(t) $。應用分部積分：
\[\int_0^\infty e^{-st} f'(t) \, dt = \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^\infty - \int_0^\infty (-s e^{-st}) f(t) \, dt
\]
\[= \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt
\]
由於 \(f(t)\) 是指數階的，當 $ t \to \infty $ 時，$ e^{-st} f(t) \to 0 $。因此，第一項計算結果為 $ f(0^+) $：
\[= f(0^+) + sF(s)
\]
所以，我們得到：
\[\mathscr{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^+)
\]
這就是函式導數的拉普拉斯變換的公式。這個公式可以推廣到更高階的導數。對於 $ n $ 階導數，拉普拉斯變換是：
\[\mathscr{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1} f(0^+) - s^{n-2} f'(0^+) - \cdots - f^{(n-1)}(0^+)
\]
這個公式在求解微分方程和控制系統分析中非常有用。
5.傳遞函式
系統輸出的L變換與系統輸入的L變換之比，定義傳遞函式
\[G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}
\]
6.電感電阻電路
動態方程
電流的動態微分方程為
\[e\left(t\right)=L\frac{\mathrm{d}i\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+Ri\left(t\right)
\]
定義 此動態 系統的 輸入為 電壓其 \(u(t)=e(t)\), 輸出為 電流\(x(t)=i(t)\), 則
\[u(t)=L \frac{d x(t)}{dt}+R(t)
\]
拉氏變換
對兩邊進行L變換
\[\mathcal{L}[u\left(t\right)]=\mathcal{L}\left[L \frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+Rx\left(t\right)\right]\\\Rightarrow U\left(s\right)=L\left(sX\left(s\right)-x\left(0\right)\right)+RX\left(s\right)
\]
考慮零初始狀態，\(x(0)=0\) ,則
\[U(s)=LsX(s)+RX(s)=(Ls+R)X(s)
\]
其傳遞函式為
\[G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ls+R}
\]
常數輸入
\(u(t)=C\)作用系統，L變換為
\[U(s)=\mathcal{L}[u(t)]=\mathcal{L}[C]=\mathcal{L}[C\mathrm{e}^{-0t}]=C \frac{1}{s+0}=C \frac{1}{s}
\]
代入傳函 \(G(s)=\frac{1}{Ls+R}\)
\[X(s)=U(s)G(s)=C\left(\frac{1}{s}\right)\left(\frac{1}{Ls+R}\right)=\frac{C}{L} \frac{1}{s\left(s+\frac{R}{L}\right)}
\]
分式分解，設待定係數A,B
\[X(s)=\frac{C}{L}\frac{1}{s\left(s+\frac{R}{L}\right)}=\frac{C}{L}\left(\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{R}{L}}\right)
\]
解得\(A=\frac LR,B=-\frac LR\)，則
\[X\left(s\right)=\frac{C}{L}\left(\frac{L}{R}-\frac{L}{R}\right)=\frac{C}{R}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{R}{L}}\right)
\]
L逆變換
對其進行L逆變換
\[x\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left[X\left(s\right)\right]=\frac{C}{R}\left(\mathrm{e}^{0t}-\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{2}}}\right)=\frac{C}{R}-\frac{C}{R}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{2}}t}
\]
7. 控制系統傳遞函式
如圖所示的開環控制系統(Open Loop Control System):其中\(R(s)\)是參考值(Reference)或目標值，\(C(s)\)是控制器，原動態系統的傳遞函式\(G\)(s)被稱為控制系統的開環傳遞函式(Open Loop Transfer Function)。控制量是\(U(s)\),也就是原動態系統的輸入。控制系統的輸出等於原動態系統的輸出\(X(s)\)。
控制系統本質上也是一個動態系統，從參考值\(R(s)\)(它同時也是該控制系統的輸入，又稱參考輸人)到系統輸出\(X(s)\)是串聯的結構，即
\[X(s)=U(s)G(s)=R(s)C(s)G(s)
\]
若將輸出\(X(s)\)反饋到輸人端，則可以形成一個閉環控制系統，如圖 所示。其中， 參考值與輸出之間的差稱為誤差(Error),\(E\left(s\right)=R\left(s\right)-X\left(s\right)\),其對應的時間函式是\(e\left(t\right)=\) \(r(t)-x\left(t\right)\),控制器 \(C(s)\)將根據誤差決定控制量\(U(s)\)。
根據傳遞兩數的代數性質，可得
\[X(s)=U(s)G(s)=E(s)C(s)G(s)
\]
將\(E(s)=R(s)-X(s)\) 代入上式
\[\begin{aligned}&X\left(s\right)=\left(R\left(s\right)-X\left(s\right)\right)C\left(s\right)G\left(s\right)\\&\Rightarrow(1+C(s)G(s))X(s)=C(s)G(s)R(s)\\&\Rightarrow X(s)=\frac{C(s)G(s)R(s)}{1+C(s)G(s)}\end{aligned}
\]
定義閉環傳遞函式
\[G_{\mathrm{cl}}(s)=\frac{X(s)}{R(s)}=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}
\]
得到簡化的閉環控制系統框圖
8.非零初始狀態的傳遞函式
在 傳遞函 數的定義中宥 一個先 決條件 ，即零初始 條件。 但在實際情 況中， 往往需要處理非零初始 狀態的 系統。
考慮一階微分方程
\[\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}+ax(t)=u(t)
\]
L變換
\[\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+ax\left(t\right)\right]=\mathcal{L}[u\left(t\right)]\\sX\left(s\right)-x\left(0\right)+aX\left(s\right)=U\left(s\right)
\]
在零初始條件下\((x(0)=0)\), 可寫成 s\(X(s)+aX(s)=U(s)\),系統的傳遞函式是
\[G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+a}
\]
此時定義新的系統輸入\(:U_1(s)=U(s)+x(0)\),代人式中，得到
\[G(s)=\frac{X(s)}{U_{1}(s)}=\frac{1}{s+a}
\]
這兩個系統的傳遞函式是相同的，其中非零初始條件系統多出一個輸人，而這個輸人的拉普拉斯變換等於其初始條件\(x(0)\)。對它進行拉普拉斯逆變換可以得到其原函式，即
\[\mathcal{L}^{-1}[x(0)]=x(0)\delta(t)
\]
其中，\(\delta(t)\)是單位衝激函式，可以把它理解為在很短的時間內釋放出的一個單位的能量。將它乘以一個係數 \(x\)(0),則相當於在一瞬間對系統施加了\(x\)(0)個單位的能量(系統的輸出也將疊加\(x(0)h(t))\)。因為這個能量是瞬間的，並不持續，所以它不會影響到系統的穩定性分析與特徵分析。高階系統的非零初始條件的分析則比較複雜，但是其理念與一階系統相同，系統的初始狀態可以理解為瞬時間賦予系統的“能量”。