複變函式與積分變換

weixin_34104341發表於2020-04-07
函式

恩，今天又要看積分變換了。只怪當初、沒學好。

張建國 等·機械工業·2010·1版

第一章：複數與複變函式

  • 所謂複變函式，就是自變數為複數的函式。
  • 研究主要物件是某種意義下可導的複變函式，稱為解析函式。
  • 知識點層次為：複數->複變函式->複變函式性質->初等解析函式及性質

 

  1. 複數代數式：z = x + iy
  2. 複數三角式：z = r(cosθ + isinθ)
  3. 尤拉公式：eiθ = cosθ + isinθ
  4. 指數式：z = reiθ
  5. 主值　：θ = arg z = arctan(y/x)
  6. 棣莫弗公式：(cosθ + isinθ)n = cos nθ + i sin nθ

解析函式

複變函式可導的條件：實部虛部兩個二元函式可微，實部與虛部通過C-R條件聯絡起來。

若函式f(z)在z0某一領域處處可導，稱f(z)在z0處解析。

若f(z)在區域E內每一點解析，稱f(z)是E內的一個解析函式。

f在E內解析的充要條件是，u、v 在E內任一點可微，且滿足C-R條件。

 

 

　第二章　複變函式和積分

  • 複變函式積分
  • 柯西積分
  • 解析函式與調和函式的關係

 

線積分與路徑無關等價於該函式沿單連域中任何閉曲線的積分為零。

柯西積分定理：單連域內解析積分為零。

如果函式f(z)在單連域E內解析，那麼積分　只與起點與終點有關，與連線點和終點的路徑無關。

由於複變函式的積分為沿著有向曲線的積分，可以通過二元函式關於座標的曲線積分式來獲得。

若已知曲線的引數方程，則複變函式可以化為定積分計算，這時只要將被積函式f(z)的變數z換為z(t) = x(t) + iy(t) ,將dz 換為　z'(t)dt 即可。

對於解析函式的積分，由於積分與路徑無關，可以通過與牛頓萊布尼茲公式相同來計算。

至於計算沿封閉路線的積分，往往以柯西積分定理、複合閉路定理、閉路變形公式、柯西積分公式、高階導數公式為工具。

滿足拉普拉斯方程，且具有二階連續偏導的函式稱為調和函式。

  1.    任何一個在區域E上解析的函式f(z) = u(x,y) + iv(x,y),其實部與虛部都是該區域上的調和函式。
  2. 　如果u(x,y) 是區域E內的調和函式，則存在一個v(x,y) 使 u+iv 在E內解析。

　　第三章　級數

  • 一個函式的解析性與該函式能否級數展開是等價的。
  • 羅朗級數
  • 對於一般複數列的討論可以歸結為對兩個實數列的討論。
  • 對於一般複數項級數的討論可以歸結為對實數項級數的討論。

複變函式項級數： f1(z) + f2(z) + .... + fn(z) + ... 

冪級數是一種特殊複變函式項級數。以cn(z-z0)n為一般項。

冪級數與解析函式有密切關係：

  1. 冪級數在一定區域內收斂於一個解析函式
  2. 一個解析函式在其解析點的領域內能展開成冪級數。

阿貝爾定理　　收斂圓和收斂半徑

達朗貝爾公式

柯西公式

在收斂圓內，冪級數和和函式是解析函式。即，任何一個收斂半徑大於零的冪級數在其收斂圓內代表一個解析函式。

泰勒定理　　能展成冪級數

f(z)在區域E內解析的充要條件是　f(z)　在E內任一點z0的領域內可以馬爾代展成(z - z0)的冪級數，即泰勒級數。

如果z = z0是f(z) 的奇點，那麼在奇點的領域內就不能展開成泰勒級數。

羅朗級數

第四章　留數理論

  • 孤立奇點的分類和性質
  • 留數的求法
  • 用留數定理計算實函式積分和無窮限廣義積分

如果f(z) 在　z0點去心領域內解析，而z0點不解析，稱z0為f(z)的孤立奇點。

  1. 如果f(z) 在z0點的主要部分全部等於零，稱z0為f(z)的可去奇點
  2. 如果f(z) 在z0點的主要部分只有有限項m , 　稱z0為f(z)的m級極點。
  3. 如果f(z) 在z0點的主要部分有無窮多項，稱z0為f(z) 的本性奇點。

可去奇點判定　如果z0為f(z) 的孤立奇點，下列三個條件是等價的：

  1. f(z)在z0點的主要部分為零。
  2. limf(z) 存在。
  3. f(z)　在點z0的某去心領域有界

m級極點的判定　如果z0為f(z)的孤立奇點，下列三個條件等價：

  1. f(z)在z0點的主要部分為
  2. f(z)在點z0的某去心領域內能表示成
  3. g(z)=1/f(z) 以z0　為m 級零點

留數定理　把沿封閉曲線積分的整體問題，化為計算其各孤立奇點處留數的區域性問題。

留數求法

  1. 可去奇點：若z0為f(z)的可去，面積分Res{f(z),z0} = 0.
  2. 極點：
  3. 本性奇點：通過羅朗展開式來求留數。

第五章　保角對映

 

  • 對映的旋轉角不變性　解析函式的導數幅角的幾何意義。
  • 對映的保角性　對映具有保持兩曲線間夾角的大小與方向不變的特性。　
  • 伸縮率的不變性　當z0取定後，伸縮率|f'(z0)|是確定的，從而與過點z0的曲線C的選擇無關。　
  • 保角對映　設w = f(z) 在z0的領域內有定義，若對映　w = f(z) 在點z0　有保角性（大小、方向不變）和伸縮率不變性，稱對映w 在點z0是保角的，或w = f(z) 在z0處是保角對映。

若　w= f(z) 在區域E內解析，則它在E內導數不為零的點處是保角的。

上述保角對映不僅保持曲線夾角的大小不變而且夾角的方向不變。僅保持夾角的絕對值不變而方向相反的對映稱為第二類保角對映。

  • 分式線性對映　

任何一個分式線性對映可由兩種典型的對映覆合而成。

  •  分式線性對映在擴充的複平面上是一一對應的，具有保圓性的保角對映。

這裡的保圓性是指：在分式線性對映下，將圓周（直線）對映成圓周（直線）。

也就是說，如果給定的圓周或直線上沒有點對映或者無窮遠點，那麼它就對映成半徑為有限的圓周，如果有一點對映成無窮遠點，那麼它就對映成直線。

  •  分式線性對映除了保圓性之外，還有保對稱性。
  • 三種重要的分式線性對映：上半平面對映上半平面，上半平面對映單位圓域，單位圓域對映成單位圓域。

現在，終於切入正題了。。。

第六章　傅立葉變換

 

 

後面本來做了一大堆的筆記，吃完飯回來IE死在那了。。。

 

轉載於:https://www.cnblogs.com/iamgoodman/archive/2013/01/11/2857051.html

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