Mesh模型的Laplace Deformation（網格形變 - 拉普拉斯形變） - C++程式碼實現

github: https://github.com/GaoYuanBob/LaplaceDeformation     

https://blog.csdn.net/Bob__yuan/article/details/81778875，這裡是我的第一篇Laplace形變的學習記錄，在這第二篇學習記錄中，想將做出的幾個結果放上來看一下（紅色是固定區域，綠色是移動區域，由於上一篇文章說了，Laplace Deformation是可以三個軸分著計算的，所以只是將綠色區域在Y方向上進行拖動，所有點的座標也只更新Y座標）：

    我目前是先實現的最簡單的Laplace Deformation，就是點的Laplace座標就是單純的用周圍一圈點的座標平均（同樣的權重）然後和該點座標做減法。從結果上看還是比較對的，為了檢查在記憶體有洞的情況下是否會影響，加的大圖的測試（紅色為移動錨點，進行旋轉，藍色未固定錨點，固定不動）。

    具體到程式碼實現流程如下：

    1、先選取錨點

          對一個要進行形變的模型，我們先選擇出錨點，包括在形變過程中不動的錨點，我稱之為固定錨點，記錄這些點的索引到fixed_anchor_idx（vector）中；然後選取我們確定形變之後在哪裡的點，我稱之為移動錨點，記錄這些點的索引到move_anchor_idx（vector）中。

    2、計算點的連線關係

          這個功能在VCG庫裡其實是有的，匯入模型之後自動就有這種屬性，但是為了實現流程，還是自己寫了一下，大致思想就是遍歷所有的面（必須是三角形），由於是三角形面片，所以三角形上的三個點肯定是相連線的，對於所有面片，將每個點的連線點vector中，新增上這個三角形面片的另外兩個點，遍歷完成，所有點的連線關係就確定完成了。

    3、計算Laplace矩陣 - L

         處理的模型有 N 個點，Laplace矩陣L就是 N * N 的方陣（稀疏矩陣，大多數位置值為0），對角線上代表，第i個點有幾個鄰接點，也就是用到了我們上邊計算出來的連線關係。然後 i，j 位置是 -1 則表示第 j 個點和第 i 個點連線，如果是0，則沒有相連線。如果覺得自己的矩陣可能有問題，可以輸出出來，看看每一行的 -1 的個數加起來和這一行對角線上的值是不是一樣的，不一樣一定是問題的！

          具體到程式碼部分，我用到的是VCG中的Eigen庫，標頭檔案方面需要如下幾個。

          首先是建立Laplace矩陣L以及之後需要擴充的矩陣Ls，L的大小是N * N，Ls的大小是 (M + N) * N（M是錨點總個數）。然後根據上述方式進行賦初值。這個過程過後，Laplace矩陣L就計算完成了！L用來和形變前模型的所有點座標組成的矩陣相乘，得到等式右邊的Laplace座標，（忘了是啥可以看一下第一篇文章）。Ls還沒有計算完成，還需要新增錨點資訊。

           比如說對於只有19的圓盤來說，Laplace矩陣L就如下圖所示。

          接下來新增固定錨點和移動錨點資訊，新增方式相同，就是每一個錨點新增一行，這一行中除了這個點的索引處為1，其餘位置全為0；同樣是上邊的模型，Ls矩陣就是多了兩行的L，如下所示。（可以看出，只有兩個錨點，分別是第0號，和第16號點）。

 

         輸出矩陣資訊的時候，Eigen庫過載了cout，所以直接 cout << L << endl; 即可輸出整個矩陣，並且是對齊的。但是矩陣很小時輸出能夠看出一些資訊，矩陣大了肉眼就看不出什麼資訊了。

    4、計算等式左邊 - LsTLs

         上圖公式左邊，和x相乘的就是Ls矩陣，計算了Ls之後，就是計算等式  左邊了。也就是求出Ls矩陣的轉置，然後左乘上Ls本身，我稱之為 LsTLs 矩陣。所有的矩陣庫都肯定有矩陣求轉置的方法，Eigen庫中直接 LsT = Ls.transpose();  LsTLs = LsT * Ls; 就可以求出我們需要的 LsTLs 矩陣了。

    5、計算等式右邊 - LsTb

         等式右邊的矩陣稱為 b，上邊的部分就是用我們之前算過的Laplace矩陣左乘上所有點的座標的矩陣，得到的所有點的Laplace座標矩陣，因為xyz三個軸可以分別計算，所以每個軸其實是一個很長的向量。b 矩陣下邊部分是Laplace Deformation的重點！它包括兩個部分，固定錨點和移動錨點，b裡的每一行，對應著Ls中的每一行。這些表示錨點資訊的行，是決定形變方式以及效果的資料。一行和一行之間的對應一定要對！

          每一行的賦值，對於固定錨點和移動錨點，賦值的原理是一樣的，每一行除了點的索引位置上有數，其餘位置都是0，索引位置上的數，是這錨點的形變後坐標！！

          但是，對於固定錨點，因為固定，所有其實形變後坐標也是形變前座標，固定錨點的每一行就是在上述數學公式中的含義就是，這個點，在形變過程中，座標沒有變。 

          對於移動錨點，因為移動了，所有不再是形變前座標，這時就需要用到我們指定的這些點形變後的座標，要自己指定。

         從程式碼也可以看出，就是先用Laplace矩陣L計算所有點的Laplace座標，也就是 b 矩陣的上半部分，然後通過Eigen庫中的 conservativeResize 方法將 b 矩陣擴充套件為 N + M 行，然後用上述方法指定錨點資訊，我這裡只對Y座標進行改動，對所有移動錨點，將其Y座標減去5，看看形變效果。（從這裡就可以明顯的看出，如果所有點只是在Y軸方向上移動，那麼模型上所有點的X和Z座標形變前後是都不會變的！）。

    6、計算形變後的座標 

         得到形變後的座標 x' 的方式就是解 LsTLs * x' = LsTb 這個線性方程組，方程組左右我們都知道了，並且用矩陣的形式表示，我們使用Eigen庫中提供的Cholesky分解加速計算。vy_new = LsTLs.llt().solve(LsTby);  一行即可計算出 vy_new 這個 Eigen::VectorXf 型別向量，向量的大小是自動計算出來的，不需要指定。

     7、對模型進行形變

           得到的 vy_new 向量包括了所有點的 y 座標（x和z同樣方式計算），但不是所有點的 y 座標都需要進行更新，因為我們有錨點，所以更新模型的方式就是，遍歷vy_new向量：

         （1）如果這個索引上的點不是錨點，那麼這個點的新座標就變為 vy_new 對應位置的值

         （2）如果這個索引上的點是固定錨點，那麼這個點的座標不用調整

         （3）如果這個索引上的點是移動錨點，那麼這個點的座標調整為指定的形變後坐標

          也就是說，只有不是錨點的點的座標是需要計算的，錨點的形變後坐標的我們在形變前就已經知道了，如下圖所示賦值。

    這樣，模型的所有點的座標也已經更新了，完整的Laplace形變就完成了。 

    如果有更多要求限制，比如旋轉不變性，保體積性，等等，也是在這個流程的基礎上新增約束資訊，中心思想是一樣的。