- 一.基本函式的變換
- 二.基本的性質
- 1.線性特性
- 2.第一移位定理
- 3.第二移位定理
- 4.特別的性質
- 5.微分特性
- 6.積分特性
- 7.卷積特性
- 8.初值定理&終值定理
- 三.拉普拉斯反變換的解題方法
- 1.單根的形式（要求真分式，不是的化為真分式）
- 2.多重根的形式（最多三重根）
- 3.共軛虛根
- 綜合練習題
一.基本函式的變換
\(f(t)=1_{(t)}\) \(F(s)=\frac{1}{s}\)
階躍函式也被寫作\(\epsilon(t) or H(t)\)
\(f(t)=t\) \(F(s)=\frac{1}{s^{2}}\)
\(f(t)=t^2\) \(F(s)=\frac{2}{s^{3}}\)
基本通式：
正變換：\(f(t)=t^n \ \ \ \ F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}\) 逆變換：$F(s)=\lambda\frac{1}{s^{n}} \ \ \ \ f(t)=\frac{\lambda}{(n-1)!}t^{n-1} \ \ \ \ \ $\(f(t)=\delta(t)\ \ \ \ F(s)=1\)
\(f(t)=e^{at}\ \ \ \ \ \ F(s)=\frac{1}{s-a}\)
\(f(t)=\cos(wt)\ \ \ \ \ F(s)=\frac{s}{s^2+w^2}\)
\(f(t)=\sin(wt)\ \ \ \ \ F(s)=\frac{w}{s^2+w^2}\)
例題
eg1:
\(L\{t^3\}\)
原式=\(\frac{6}{s^4}\)
eg2:
\(L\{-2\cos2t+3\sin2t\}\)
原式=\(-2\frac{s}{s^2+4}+\frac{6}{s^2+4}\)
$\ \ \ \ \ \ $= $ \frac{-2s+6}{s^2+4} $
eg3:
\(L^{-1} \{ \frac{s+4}{s^2+4} \}\)
原式=$ \cos2t+3\sin2t$
eg4:
\(L \{2e^{-4t}+3\cos5t+4\sin3t+t^5+5\delta(t) \}\)
原式=\(\frac{2}{s+4}+\frac{3s}{s^2+25}+\frac{12}{s^2+9}+\frac{120}{s^6}+5\)
eg5:
\(L^{-1} \{ \frac{3}{s+5}+\frac{2s+5}{s^2+16}+6+\frac{7}{s^6} \}\)
原式=\(3e^{-5}+2\cos4t+\frac{5}{4}\sin4t+6\delta(t)+\frac{7}{5!}t^5\)
二.基本的性質
1.線性特性
\(L\{af(t) +bg(t)\}=aF(s)+bG(s)\)
2.第一移位定理
\(L\{f(t) e^{at}\}=F(s-a)\)
在這裡面\(e^{at}\)被稱為收斂因子
例題
eg5:\(L\{e^{2t}\cos2t\}\)
原式=\(\frac{s}{s^2+4} _{(s=s-2)}\)
=$\frac{s-2}{(s-2)^2+4} $
eg6:\(L\{e^{-3t}\sin3t\}\)
原式=\(\frac{3}{(s+3)^2+9}\)
eg7: \(L^{-1} \{\frac{s+2}{s^2+4s+13}\}\)
原式=\(\frac{s+2}{(s+2)^2+9}\)
=\(\frac{s+2}{(s+2)^2+9}\)
=\(e^{-2t}\cos3t\)
eg8: \(L^{-1} \{\frac{2s+3}{s^2+2s+10}\}\)
原式=\(\frac{2（s+1）+1}{(s+1)^2+9}\)
=\(2e^{-t}\cos3t+\frac{1}{3}e^{-t}\sin3t\)
3.第二移位定理
f(t)\(\to\)F(s):\(L\{f(t-a)H(t-a)\}=F(s)e^{-as}\)
\(e^{-as}\)稱為延遲因子
例題
eg9:\(L\{H(t-2\pi)\sin2t\}\)
原式=\(\{H(t-2\pi)\sin2（t-2\pi）\}\)
=\(F(s)e^{-2\pi s}\)
=\(\frac{2}{s^2+4}e^{-2\pi s}\)
eg10:\(L\{t·H(t-5)\}\)
原式=\(\{(t-5)·H(t-5)+5·H(t-5)\}\)
=\(F(s)e^{-5 s}\)
=\(\frac{1}{s^2}e^{-5 s}+\frac{5}{s}e^{-5s}\)
f(t)\(\to\)F(s):\(L^{-1}\{F(s)e^{-as}\}=f(t-a)H(t-a)\)
例題
eg10:\(L^{-1}\{e^{-3s} · \frac{s} {s^2+16}\}\)
原式=\(\{H(t-3)\cos 4(t-3)\}\)
4.特別的性質
| 性質 | |
|---|---|
| 1 | $ L \{ tf(t)\}=-\frac {\partial F(s)}{\partial s}$ |
| 2 | $ L \{ \frac {f(t)}{t}\}=\displaystyle\int_{s}^{+\infty}F(s)ds $ |
例題
eg11:\(L\{t \sin2t\}\)
原式=\(L\{ t\sin2t\}=-\frac {\partial \frac{2}{s^2+4}}{\partial s}\)
=\(\frac{4s}{(s^2+4)^2}\)
5.微分特性
例題
eg12:
\(y''+4y'+3y=3\cos2t. \ \ \ \ \ y(0)=0;\ \ \ \ y'(0)=0\).求\(F（s）\)
$ s^2·F（s）-sf(0) -f'(0)+4[s·F（s）-f(0)]+3F(s)=\frac{3s}{s^2+4}$
\((s^2+4s+3)·F(s)=\frac{4+3s+s^2}{s^2+4}\)
\(F(s)=\frac{4+3s+s^2}{(s^2+4)(s^2+4s+3)}\)
6.積分特性
7.卷積特性
例題
eg13: 求\(L\{e^{2t}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-2\lambda}\sin2\lambda d\lambda\}\)
原式=\(L\{e^{2t}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-2\lambda}\sin2\lambda d\lambda\}=L\{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{2(t-\lambda)}\sin2\lambda d\lambda\}\)
原式=\(L\{e^{2t}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-2\lambda}\sin2\lambda d\lambda\}=L\{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{2\lambda}\sin2(t-\lambda) d\lambda\}=\frac{1}{s-2}·\frac{2}{s^2+4}·\)
8.初值定理&終值定理
初值定理：$$\displaystyle\lim_{t\to0}f(t)=\displaystyle\lim_{s\to \infty}sF(s)$$
終值定理：$$\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\displaystyle\lim_{s\to 0}sF(s)$$
三.拉普拉斯反變換的解題方法
1.單根的形式（要求真分式，不是的化為真分式）
形如:
\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1s^m+b_2s^{m-1}+b_3s^{m-2}……+b_{m-1}s^1+b_ms^{0}}\ \ \ (m\geq n) \]化為
\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(s-\lambda_i)} \]拆成
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\frac{c_i}{s-\lambda_i} \]留數法求分子係數
\[c_i=\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(s-\lambda_i)}\times(s-\lambda_{t_{t\in[1,n]}}|_{s=\lambda_{t}} ) \]最後利用基本的拉普拉斯逆變換公式求其逆變換
\[L_{-1}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{c_i}e^{\lambda_i t} \]
例題
eg14: 求\(L^{-1}\{\frac{3s+2}{(s+2)(s+3)}\}\).
2.多重根的形式（最多三重根）
二重根：
化為\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-2}(s-\lambda_i)(s-\mu)^2} \]\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m-2}\frac{c_i}{s-\lambda_i}+\frac{d_1}{(s-\mu)^2}+\frac{d_2}{s-\mu} \]1.求\(d_1\)
\[d_1=\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-2}(s-\lambda_i)(s-\mu)^2}\times(s-u)^2|_{s=\mu} \]2.求\(d_2\)
\[d_2=\frac{\partial{\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-2}(s-\lambda_i)(s-\mu)^2}\times(s-u)}}{\partial{s}}|_{s=\mu} \]三重根：
化為\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3 } \]\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m-3}\frac{c_i}{s-\lambda_i}+\frac{d_1}{(s-\mu)^3}+\frac{d_2}{(s-\mu)^2}+\frac{d_3}{(s-\mu)} \]1.求\(d_1\)
\[d_1=\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3}\times(s-u)^3|_{s=\mu} \]2.求\(d_2\)
\[d_2=\frac{\partial{\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3}\times(s-u)^2}}{\partial{s}}|_{s=\mu} \]3.求\(d_3\)
\[d_3=\frac{1}{2}\frac{\partial^2{\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3}\times(s-u)}}{\partial{s^2}}|_{s=\mu} \]
3.共軛虛根
eg15：\(F（s）=\frac{3s+5}{(s+1)(s^2+2s+10)}\)
綜合練習題
\(y''+2y'+2y=\delta(t-3)\) ; \(y(0)=y'(0)=0\)。