傳遞函式、拉普拉斯變換的方便理解

拉普拉斯變換的重大意義

1. 將時域的卷積運算轉為到複頻域（S域）的乘積運算。因為拉普拉斯變換包含傅立葉變換，比傅立葉變換應用範圍更廣，所以轉換一般轉為S域內進行卷積，後將結果反變換回時域。以一次變換的開銷換取整個計算過程的便利，最終反變換。另外如果是多個系統級聯，那麼更加方便計算。
2. 在解微分方程時特別好用，一階，二階。也是將微分積分等換算為拉普拉斯變換，然後計算結果並進行反變換。如物理中的速度場景、電路中L、C等的電流電壓關係等都會有微分方程的計算。如下例：
   

傳遞函式與拉普拉斯變換：
線上性時不變系統LTI中：

1. 系統輸出等於輸入與單位衝擊響應的卷積運算

2. 單位衝擊響應的拉普拉斯變換，也叫傳遞函式。買的環節就是s域，直接將輸入變換為s域，在s域計算，最後輸出變回時域，這樣簡單很多，比起在時域卷積，當經過好幾個子環節時更為方便。

3. 系統的傳遞函式也就是單位衝擊響應的拉普拉斯變換，傳遞函式的計算可以通過s域，給一個輸入，然後輸出，除法計算得來。雖然看似s域，輸出除以輸入得到傳遞函式。但這不是傳遞函式本質的來源，本質的來源是：時域通過單位衝擊衝了一下測了一下環節或者系統得出單位衝擊響應，以後的輸入輸出關係就可以通過時域的輸入和這個單位衝擊響應卷積算得到輸出。然後為了方便計算，通過時域s域的卷積和乘法轉換，最終得到傳遞函式也就是單位衝擊響應的拉普拉斯變換。如下圖
   

參考連結：
傳遞函式遞了什麼
「拉普拉斯變換的福利」變換到底有何療效？