z 變換

1. z 變換

單位脈衝響應為 $h[n]$ 的離散時間線性時不變系統對復指數輸入 $z^n$ 的響應 $y[n]$ 為

$\tag{1} y[n] = H(z) z^{n}$

式中 $H(z)$ 是一個復常數，為

$\tag 2 H[z] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h[n]z^{-n}$

若 $z=e^{j\omega}$，這裡 $\omega$ 為實數（即，$|z|=1$），則（2）式的求和式就是 $h[n]$ 的離散時間傅立葉變換。在更為一般的情況下，當 $|z|$ 不限制為 1 的時候，（2）式就稱為 $h[n]$ 的 $z$ 變換。

一個離散時間訊號 $x[n]$ 的 $z$ 變換定義為

$\tag 3 \boxed{X(z) \overset{\triangle}{=}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}$

若將復變數 $z$ 表示成極座標形式

$\tag{4} z = r e^{j\omega}$

用 $r$ 表示 $z$ 的模，而用 $\omega$ 表示它的相角。利用 $r$ 和 $\omega$，（3）式就變為

$\tag 5 X(r e^{j\omega}) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n](r e^{j\omega})^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{x[n]r^{-n}\} e^{-j\omega n}$

由此可見，$X(r e^{j\omega})$ 就是序列 $x[n]$ 乘以實指數 $r^{-n}$ 後的傅立葉變換，即

$\tag 6 X(r e^{j\omega}) =\displaystyle \mathcal F\{x[n]r^{-n}\}$

在 $z$ 變換中當變換變數 $z$ 的模為 1 時，即 $z=e^{j\omega}$，$z$ 變換就演變為傅立葉變換。於是，傅立葉變換就成為在複數 $z$ 平面中，半徑為 1 的圓上的 $z$ 變換。在 $z$ 平面上，這個圓稱為單位圓。

一般來說，對於某一序列的 $z$ 變換，存在著某一個 $z$ 值的範圍，對該範圍內的 $z$，$X(z)$ 收斂，這樣一些值的範圍就稱為收斂域（ROC）。如果 ROC 包括單位圓，則傅立葉變換也收斂。

• 例 1
  

• 例 2
  

2. $z$ 變換的收斂域

性質 1：$X(z)$ 的 $ROC$ 是在 $z$ 平面上以原點為中心的圓環。

性質 2：$ROC$ 內不包含任何極點。

性質 3：如果 $x[n]$ 是有限長序列，那麼 $ROC$ 就是整個 $z$ 平面，可能除去 $z=0$ 和/或 $z=\infty$。

性質 4：如果 $x[n]$ 是一個右邊序列，並且 $|z|=r_0$ 的圓位於 $ROC$ 內，那麼 $|z|>r_0$ 的全部有限 $z$ 值都一定在這個 $ROC$ 內。

性質 5：如果 $x[n]$ 是一個左邊序列，並且 $|z|=r_0$ 的圓位於 $ROC$ 內，那麼 $ 0< |z| < r_0$ 的全部 $z$ 值都一定在這個 $ROC$ 內。

性質 6：如果 $x[n]$ 是雙邊序列，並且 $|z|=r_0$ 的圓位於 $ROC$ 內，那麼該 $ROC$ 一定是由包括 $|z|=r_0$ 的圓環所組成。

性質 7：如果 $x[n]$ 的 $z$ 變換 $X(z)$ 是有理的，那麼它的 $ROC$ 就被極點所界定，或者延伸到無限遠。

性質 8：如果 $x[n]$ 的 $z$ 變換 $X(z)$ 是有理的，而且若 $x[n]$ 是右邊序列，那麼，$ROC$ 就位於 $z$ 平面內最外層極點的外邊；也就是半徑等於 $X(z)$ 極點中最大模值的圓的外邊。而且，若 $x[n]$ 是因果序列（即 $x[n]$ 為 $n&lt;0$ 等於 $0$ 的右邊序列），那麼，$ROC$ 也包括 $z=\infty$。

性質 9：如果 $x[n]$ 的 $z$ 變換 $X(z)$ 是有理的，而且若 $x[n]$ 是左邊序列，那麼，$ROC$ 就位於 $z$ 平面內最裡層的非零極點的裡邊；也就是半徑等於 $X(z)$ 中除去 $z=0$ 的極點中最小模值的圓的裡邊，並且向內延伸到可能包括 $z=0$。特別地，若 $x[n]$ 是反因果序列（即 $x[n]$ 為 $n&gt;0$ 等於 $0$ 的左邊序列），那麼，$ROC$ 也包括 $z=0$。

3. $z$ 反變換

對（6）式兩邊進行傅立葉反變換可得

$\tag 7 \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) =x[n]r^{-n}$

因此

$\tag 8 x[n] = r^{n} \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) = r^{n} \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega$

將 $r^n$ 的指數因子移進積分號內，則有

$\tag 9 x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) (re^{j\omega})^ nd\omega$

也就是說，將 $z$ 變換沿著在 $ROC$ 內 $z=re^{j\omega}$，$r$ 固定而 $\omega$ 在一個 $2\pi$ 區間內變化的閉合圍線上求值，就能將 $x[n]$ 恢復出來。

現在將積分變數從 $\omega$ 改為 $z$。由於 $z=re^{j\omega}$，$r$ 固定，$dz=jre^{j\omega}d\omega=jzd\omega$，或者 $d\omega=(1/j)z^{-1}dz$。這樣，（9）式中在 $\omega$ 的 $2\pi$ 區間的積分，利用 $z$ 以後，就對應於變數 $z$ 在環繞 $|z|=r$ 的圓上一週的積分。

$\tag{10} x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint X(z) z^ {n-1}dz$

式中，$\oint$ 記為在半徑為 $r$，以原點為中心的封閉圓上沿逆時針方向環繞一週的積分。$r$ 的值可選為使 $X(z)$ 收斂的任何值，也就是使 $|z|=r$ 的積分圍線位於 $ROC$ 的任何值。

• 確定 $z$ 反變換的一種方法就是先進行部分分式展開，然後逐項求其反變換。

這種方法依賴於將 $X(z)$ 展開成如下形式的部分分式：

$\tag{11} X(z) = \sum_{i=1}^{m} \frac{A_i}{1-a_iz^{-1}}$

若 $X(z)$ 的 $ROC$ 是位於極點 $z=a_i$ 的外邊，那麼其對應項的反變換就是 $A_i a_i^n u[n]$；另一方面，若 $X(z)$ 的 $ROC$ 是位於極點 $z=a_i$ 的裡面，那麼對應項的反變換就是 $-A_i a_i^n u[-n-1]$。

• 確定 $z$ 反變換的另一種方法是建立在 $X(z)$ 的冪級數展開的基礎之上。由 $ X(z) =\sum_{n=-\infty}^{{+\infty}x[n]z}{-n}$ 可知，實際上 $z$ 變換就是涉及 $z$ 的正冪和負冪的一個冪級數，這個冪級數的係數就是序列值 $x[n]$。

用冪級數展開法來求 $z$ 反變換對非有理的 $z$ 變換式特別有用。

4. $z$ 變換的性質

4.1. 線性

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1$

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2$

則

$\tag{12} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}$

4.2. 時移性質

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

則

$\tag{13} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} z^{-n_0}X(z) \quad ROC=R \space 原點或無限遠點可能加上或除掉}$

4.3. $z$ 域尺度變換

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

則

$\tag{14} \boxed{ z_0^nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{z}{z_0}) \quad ROC=|z_0|R }$

這就是說，若 $z$ 是在 $X(z)$ 的 $ROC$ 內的一點，那麼點 $|z_0|z$ 就在 $X(z/z_0)$ 的 $ROC$ 內。

4.4. 時間反轉

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

則

$\tag{15} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{1}{z}) \quad ROC=\frac{1}{R} }$

這就是說，若 $z_0$ 是在 $x[n]$ 的 $z$ 變換 $ROC$ 內，那麼點 $1/z_0$ 就在 $x[-n]$ 的 $z$ 變換 $ROC$ 內。

4.5. 時間擴充套件

若令 $k$ 是一個正整數，並且定義

$\tag{16} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &amp;\text 當\space n \space為\space k\space的整數倍 \\ 0, &amp;\text 當\space n \space不為\space k\space的整數倍 \end{cases}$

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

則

$\tag{17} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z^k) \quad ROC=R^{1/k} }$

這就是說，若 $z$ 是在 $X(z)$ 的 $ROC$ 內，那麼點 $z^{1/k}$ 就在 $X(z^k)$ 的 $ROC$ 內。

4.6. 共軛

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

則

$\tag{18} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X^*(z^*) \quad ROC=R }$

4.7. 卷積性質

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1$

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2$

則

$\tag{19} \boxed{ x_1[n] * x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}$

4.8. $z$ 域微分

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

則

$\tag{20} \boxed{ nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} \quad ROC=R }$

4.9. 初值定理

若 $n &lt;0, x[n]=0$，則

$\tag{21} x[0] = \lim_{z\to \infty}X(z)$

4.10. 終值定理

若 $n &lt;0, x[n]=0$，其 $z$ 變換的極點，除可以有一個一階極點在 $z=1$ 上，其它極點均在單位圓內，則

$\tag{21} \lim_{n\to \infty}x[n] = \lim_{z\to 1}(z-1)X(z)$

4.11. 性質小結

4.12. 幾個常用的 $z$ 變換對

5. 利用 $z$ 變換分析與表徵線性時不變系統

在離散時間 $LTI$ 系統的分析和表示中，$z$ 變換有其特別重要的作用，由卷積性質可得

$\tag{23} Y(z) = H(z) X(z)$

式中 $X(z)、Y(z) 、H(z)$ 分別是系統輸入、輸出和單位脈衝響應的$z$ 變換 。$H(z)$ 稱為系統的系統函式或轉移函式。

5.1. 因果性

一個因果 $LTI$ 系統其單位脈衝響應 $h[n]$是對於 $n&lt;0，h[n] = 0$，因此是一個右邊序列。由性質 4 知道 $H(z)$ 的 $ROC$ 是位於 $z$ 平面內某一個圓的外邊。由性質 8 可知，對於一個因果序列，這個冪級數中，

$\tag{24} H(z) =\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}$

不包含任何 $z$ 的正冪次項，因此 $ROC$ 包括無限遠點。綜上所述，就得出如下屬性：

一個離散時間 $LTI$ 系統當且僅當它的系統函式的 $ROC$ 是在某一個圓的外邊，且包括無限遠點，該系統就是因果的。

如果 $H(z)$ 是有理的，那麼該系統要是因果的，其 $ROC$ 必須位於最外層極點的外邊，且無限遠點必須在 $ROC$ 內；等效地說，隨 $z\to \infty$ 時， $H(z)$ 的極限必須是有限的。這就等效於，當 $H(z)$ 的分子和分母都是表示成的 $z$ 的多項式時，其分子的階次不會大於分母的階次。即

一個具有有理系統函式 $H(z)$ 的 $LTI$ 系統要是因果的，當且僅當：(1) $ROC$ 位於最外層極點某一個圓的外面；和 (2) 若 $H(z)$ 表示成 $z$ 的多項式之比，其分子的階次不能大於分母的階次。

5.2. 穩定性

一個離散時間 $LTI$ 系統的穩定性就等效於它的單位脈衝響應是絕對可和的，在這種情況下， $h[n]$ 的傅立葉變換收斂，結果就是 $H(z)$ 的 $ROC$ 必須包括單位圓。綜上所述，可得如下結果：

一個 $LTI$ 系統當且僅當它的系統函式 $H(z)$ 的 $ROC$ 包括單位圓，該系統就是穩定的。

對於一個具有有理系統函式的因果系統而言，$ROC$ 位於最外層極點的外邊。對於這個包括單位圓的 $ROC$ ，系統的全部極點都必須位於單位圓內，即

一個具有有理系統函式的因果 $LTI$ 系統，當且僅當 $H(z)$ 的全部極點都位於單位圓內時，也即全部極點模均小於 1 時，系統就是穩定的。

5.3. 由線性常係數差分方程表徵的 $LTI$ 系統

對於一般的 $N$ 階差分方程，可以對方程兩邊進行 $z$ 變換，並利用線性和時移性質。現考慮一個 $LTI$ 系統，其輸入、輸出滿足如下線性常係數差分方程：

$\tag{25} \sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]$

對式（25）兩邊取 $z$ 變換，可得

$\tag{26} \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}Y(z) = \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}X(z)$

這樣就有

$\tag{27} H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\displaystyle \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}}$

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