貝葉斯變換

基礎概念：

（1）聯合概率

P(AB)或者P（A,B）：在整個事件中，A,B同時發生的概率。

（2）條件概率

P（A|B）：在B發生的情況下，A發生的概率。
P（B|A）：在A發生的情況下，B發生的概率。

（3）邊緣概率

P（A）：整個事件中，A發生的概率
P（B）：整個事件中，B發生的概率

（4）聯合概率、條件概率、邊緣概率的關係

在整個事件中，共有以下五種情況：
X=1,Y=1;
X=2,Y=1;
X=1,Y=2;
X=2,Y=2
X=3,Y=1;

定義：A事件為X=1；B事件為Y=2

P(A|B)=1/2
P(B)= 2/5
P(A,B)=1/5
P（A|B)*P（B）=P（A，B）=P（B，A）

同理可求：P（B|A)*P（A）=P（B，A）=P（A，B）

（5）先驗概率

知道原因推結果 P（原因） ，P（結果|原因）

（6）後驗概率

知道結果推原因 P（原因|結果）

例項

某個醫院早上收了六個門診病人，如下表。

　　症狀　　職業　　　疾病

　　打噴嚏　護士　　　感冒
　　打噴嚏　農夫　　　過敏
　　頭痛　　建築工人　腦震盪
　　頭痛　　建築工人　感冒
　　打噴嚏　教師　　　感冒
　　頭痛　　教師　　　腦震盪

現在又來了第七個病人，是一個打噴嚏的建築工人。請問他患上感冒的概率有多大？也就是求：P(感冒|打噴嚏、建築工人)=？
根據貝葉斯定理：

　P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)

可知：
P(感冒|打噴嚏x建築工人)= （P(打噴嚏x建築工人|感冒) x P(感冒)） / P(打噴嚏x建築工人)

由於：
P(打噴嚏x建築工人|感冒)=P(打噴嚏|感冒)xP(建築工人|感冒)

所以：
P(感冒|打噴嚏x建築工人)= （P(打噴嚏|感冒)xP(建築工人|感冒) x P(感冒)） / P(打噴嚏)x P(建築工人)

根據上表計算可知:
P(打噴嚏|感冒)=2/3
P(建築工人|感冒) =1/3
P(感冒)=12
P(打噴嚏)=1/2
P(建築工人) =1/3
P(感冒|打噴嚏x建築工人)=(2/3 x 1/3 x 1/2)/(1/2 x 1/3)=0.66

**因此，**這個打噴嚏的建築工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以計算這個病人患上過敏或腦震盪的概率。比較這幾個概率，就可以知道他最可能得什麼病。