2018年亞太地區數學奧林匹克P1：水題

題目 如圖, $H$是$\triangle ABC$的垂心, $M,N$分別是$AB,AC$的中點. 已知$H$在四邊形$BMNC$的內部, 且$\triangle BMH$的外接圓與$\triangle CNH$的外接圓相切. 過$H$作平行於$BC$的直線分別與$\triangle BMH$和$\triangle CNH$的外接圓交於不同於$H$的點$K,L.$ 設$F$是直線$MK$與$NL$的交點, $J$是$\triangle MHN$的內心. 求證：$FJ=FA.$

證明

由兩圓外切可知$\angle NHM=\angle NCH+\angle HBM=180^{\circ}-2\angle BAC.$ 由內心性質可知\begin{align*} \angle NJM=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}\angle NHM=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}(180^{\circ}-2\angle BAC)=180^{\circ}-\angle BAC. \end{align*} 故$A,M,J,N$共圓. 又注意到$MN\parallel BC\parallel KL,$ 故 \begin{align*} \angle NMF=\angle LKF=\angle HBM=90^{\circ}-\angle BAC. \end{align*} 同理有$\angle FNM=90^{\circ}-\angle BAC,$ 故知$F$為$\triangle AMN$外接圓的外心, 由共圓可知$FA=FJ.$