一類骰子游戲中的概率計算

埠默笙聲聲聲脈發表於2022-01-20

一個骰子，一個跑道，停在某個格子上有獎勵。包含這種玩法的遊戲不要太多，拿“大富翁”作個圖示：

在玩的時候時常在問自己：

  • 我停在前方第n格的概率是多少？
  • 我停在前方第n格的期望擲骰子數是多少？
  • 感性上，我停在前方第100格的概率，應該和我停在前方第1000格的概率是一樣的，那麼這個概率是多少？

不妨就來程式設計解決這些疑問！

Q1：停在前方第n格的概率是多少？

不妨先考慮簡單的情形：

n = 1，那麼我們至多能擲1次骰子，且僅值為1時滿足條件，那麼概率是 1 / 6 = 0.166667。

n = 2，那麼我們至多能擲2次骰子，點數為 (1, 1) 或 (2) 時滿足條件。所有擲骰子的情況是：{ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2) (3) (4) (5) (6) } 一共11種情況，那麼概率是 2 / 11 = 0.181818。

我們可以總結出這樣的公式：

  • 停在前方第n格的概率 = 正好停在第n格的情況數 ÷ 給定最多投擲數的情況下，停留的位置大於等於第n格的情況數 = F(n) / G(n)

 Step1：計算F(n) 

方法一：動態規劃

顯然，停在n格的情況數 = 停在n-1格的情況數 + 停在n-2格的情況數 + … + 停在n-6格的情況數，所以有：

  • 轉移方程：F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3) + F(n-4) + F(n-5) + F(n-6)
  • 邊界條件：F(0) = 1，F(n<0) = 0

程式碼如下：

def calF(n):
    F_list = [0 for i in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(1,7):
            if i - j == 0: F_list[i] += 1 # 即F(0)=1
            elif i - j < 0: F_list[i] += 0 # 即F(n<0)=0
            else: F_list[i] += F_list[i-j]
    return F_list[-1]

方法二：遞迴演算法

動態規劃與遞迴都有著“分而治之”的思想，在某些情況下是能相互轉換的。遞迴演算法是這麼看這個問題的：於當前位置，重複地執行擲骰子這一動作。若正好停在第n格，則計數器+1，函式返回；若大於第n格，則函式返回；若小於第n格，則繼續擲骰子。

程式碼如下：

def calF_with_RA(n, counter): 
    # n：到目標的距離
    # counter：達成條件的情況計數器
    for i in range(1,7):
        if i == n: 
            counter += 1
            return counter
        elif i < n:
            counter = calF_with_RA(n-i, counter)
    return counter

Step2：計算G(n)

如果在Step1中採用了遞迴演算法，那麼只要改寫一下函式中計數器的達成條件，和函式退出的位置即可，程式碼如下：

def calG_with_RA(n, counter): 
    # n：到目標的距離
    # counter：達成條件的情況計數器
    for i in range(1,7):
        if i >= n: 
            counter += 1
        else: counter = calG_with_RA(n-i, counter)
    return counter

Step3：計算並畫圖

於是計算概率的函式有：

def calF_divide_G(n):
    F = calF_with_DP(n)
    G = calG_with_RA(n, 0)
    return F/G

把n=1到20的概率畫出來：

一類骰子游戲中的概率計算 
if __name__ == '__main__': 
    prob = []
    for i in range(1,21):
        prob.append(calF_divide_G(i))
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_) # 轉換資料型別 否則plot中會顯示浮點數
    plt.plot(n,prob,linewidth=2,color='r',marker='o', markerfacecolor='blue',markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('P(n)')
    plt.show()
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可以看出確實有收斂的趨勢（n取大於25時，程式會變得異常難算，難以展示），收斂到的概率是0.196717（保留6位小數），這也正好回答了Q3。另外，n=6時概率最大，值為0.198758（保留6位小數）。

Q2：停在前方第n格的期望擲骰子數是多少？

一個思路是，記錄所有到達第n格的擲骰子“軌跡”，然後對所有軌跡進行統計。由於遞迴演算法本身就有列印軌跡的能力，順便再統計點相關的資料自然不在話下，於是改寫遞迴函式：

def throw_dice(n, track, record):
    # n：到目標的距離
    # track：骰子的軌跡
    # record：記錄所有軌跡的長度（即擲骰子次數）
    for i in range(1,7):
        if i == n:
            track.append(i)
            print(track)
            record.append(len(track))
            return record
        elif i < n:
            track_ = track.copy()
            track_.append(i)
            throw_dice(n-i, track_, record)
    return record

遍歷所有擲骰子軌跡，求出擲骰子數的概率分佈和期望：

def get_dice_distribution(n):
    record = throw_dice(n, [], [])
    Min = min(record)
    Max = max(record)
    distribution = [0 for i in range(Max - Min + 1)]
    for num in record:
        distribution[num - Min] += 1
    Sum = sum(distribution)
    for i, num in enumerate(distribution): # 求擲骰子數的概率分佈
        distribution[i] = num / Sum
    
    expectation = 0 # 求期望擲骰子數
    for i in range(Max - Min +1):
        expectation += (Min + i) * distribution[i]
    print(expectation)
    
    return Min, Max, distribution, expectation

畫出擲骰子數的概率分佈（以n=10為例）：

一類骰子游戲中的概率計算 
def plotDistribution(n):
    Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(n)
    N = np.arange(Min, Max+1).astype(dtype=np.str_)
    plt.bar(N, distribution)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('throwing times')
    plt.show()
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畫出n=1到20的期望擲骰子數：

一類骰子游戲中的概率計算 
def plotExpectation():
    expectation_list = []
    for i in range(1,21):
        Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(i)
        expectation_list.append(expectation)
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_)
    plt.plot(n, expectation_list, linewidth=2, color='r', marker='o', markerfacecolor='blue', markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('E(n)')
    plt.show()
    return expectation_list
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可以看出，大致上是一個線性的關係，列印出具體的資料：

可以看出，當n小於等於6時，是線性的；大於6時，大致上是線性的。

整體程式碼：

一類骰子游戲中的概率計算 
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt 


def calF_with_DP(n):
    F_list = [0 for i in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(1,7):
            if i - j == 0: F_list[i] += 1 # 即F(0)=1
            elif i - j < 0: F_list[i] += 0 # 即F(n<0)=0
            else: F_list[i] += F_list[i-j]
    return F_list[-1]


def calF_with_RA(n, counter): 
    # n：到目標的距離
    # counter：達成條件的情況計數器
    for i in range(1,7):
        if i == n: 
            counter += 1
            return counter
        elif i < n:
            counter = calF_with_RA(n-i, counter)
    return counter


def calG_with_RA(n, counter): 
    # n：到目標的距離
    # counter：達成條件的情況計數器
    for i in range(1,7):
        if i >= n: 
            counter += 1
        else: counter = calG_with_RA(n-i, counter)
    return counter


def calF_divide_G(n):
    F = calF_with_RA(n, 0)
    G = calG_with_RA(n, 0)
    return F/G


def plotPn():
    prob = []
    for i in range(1,21):
        prob.append(calF_divide_G(i))
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_) # 轉換資料型別 否則plot中會顯示浮點數
    plt.plot(n, prob, linewidth=2, color='r', marker='o', markerfacecolor='blue', markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('P(n)')
    plt.show()


def throw_dice(n, track, record):
    # n：到目標的距離
    # track：骰子的軌跡
    # record：記錄所有軌跡的長度（即擲骰子次數）
    for i in range(1,7):
        if i == n:
            track.append(i)
            record.append(len(track))
            return record
        elif i < n:
            track_ = track.copy()
            track_.append(i)
            throw_dice(n-i, track_, record)
    return record


def get_dice_distribution(n):
    record = throw_dice(n, [], [])
    Min = min(record)
    Max = max(record)
    distribution = [0 for i in range(Max - Min + 1)]
    for num in record:
        distribution[num - Min] += 1
    Sum = sum(distribution)
    for i, num in enumerate(distribution): # 求擲骰子數的概率分佈
        distribution[i] = num / Sum
    
    expectation = 0 # 求期望擲骰子數
    for i in range(Max - Min +1):
        expectation += (Min + i) * distribution[i]
    print(expectation)
    
    return Min, Max, distribution, expectation

    
def plotDistribution(n):
    Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(n)
    N = np.arange(Min, Max+1).astype(dtype=np.str_)
    plt.bar(N, distribution)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('throwing times')
    plt.show()


def plotExpectation():
    expectation_list = []
    for i in range(1,21):
        Min, Max, distribution, expectation = get_dice_distribution(i)
        expectation_list.append(expectation)
    n = np.arange(1, 21).astype(dtype=np.str_)
    plt.plot(n, expectation_list, linewidth=2, color='r', marker='o', markerfacecolor='blue', markersize=8)
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel('E(n)')
    plt.show()
    return expectation_list
    
if __name__ == '__main__':
    # plotPn()
    # plotDistribution(10)
    expectation_list = plotExpectation()
View Code

小結

使用動態規劃和遞迴演算法解決了問題（實際上可以完全依靠遞迴）。遞迴函式由於具有列印軌跡的能力，攜帶資訊多，可擴充性強，稍微改寫就能滿足需要。

 

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