幾個基本公式
基本訊號的傅立葉變換
以下是衝擊訊號、直流訊號、虛指數訊號的傅立葉變換
\[\mathcal{F}(\delta(t)) = 1 \\
\mathcal{F}(1) = 2\pi\delta(\omega) \\
\mathcal{F}(\delta(t-T)) = exp(-j\omega T） \\
\mathcal{F}(exp(jw_0t)) = 2\pi\delta(w-w_0)
\]
衝擊訊號作用
相乘:
\[F(t) = f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t)\\
\int_{-\infty}^{\infty}F(t)dt = f(0) \\
f(t)\delta(t-T) = f(T)
\]
卷積:
\[F(t) = f(t)*\delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)\delta(\tau)d{\tau} = \\
f(t)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)d\tau = f(t) \\
f(t)*\delta(t-T) = f(t-T)
\]
訊號取樣
\[S(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) \\
x_s(t) = x(t)S(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}[x_s(nT_s)\delta(t-nT_s)]
\]
訊號週期延拓
\[P(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0) \\
\widetilde{x}(t) = x(t)*P(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}[x(t)*\delta(t-nT_0)] = \\
\sum_{-\infty}^{\infty}[x(t-nT_0)]
\]
訊號取樣的頻域情況
由傅立葉變換性質 時域乘積等於頻域卷積，我們考慮取樣訊號的傅立葉變換:
\[\mathcal{F}(S(t)) = \mathcal{F}(F_s[\widetilde{S}(t)])
\]
其中\(F_s\)表示週期訊號的傅立葉級數，對於\(\widetilde{S}(t)\) 而言，其傅立葉級數的各項係數是：
\[C_n=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}[\widetilde{S}(t)exp(-jn\omega_st)]dt =\\ \frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}[\sum\delta(t-kT_s)exp(-jn\omega_st)]dt
\]
因為積分週期\([-\frac{T_s}{2}, \frac{T_s}{2}]\) 內只有一個衝擊訊號\(\delta(t)\)，所以上公式可以寫為:
\[C_n = \frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}[\delta(t)exp(-jn\omega_st)]dt = \frac{1}{T_s}
\]
因此訊號\(S(t)\)就可以寫作:
\[S(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}[C_nexp(jnw_st)] = \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}exp(jnw_st)
\]
現在對\(S(t)\)做傅立葉變換:
\[\mathcal{F}(\omega) = \frac{1}{T_s}\int_{-\infty}^{\infty}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}exp(jnw_st)]exp(-jwt)dt = \\
\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j[w-nw_s]t}dt] = \frac{1}{T_s}\sum\delta(w-nw_s)
\]
或者，根據\(\mathcal{F}\)的線性性質，也可以這麼來看：
\[\mathcal{F}(S(t))= \frac{1}{T_s}\sum\mathcal{F}[exp(jnw_st)] = \frac{2\pi}{T_s}\sum\delta(w-nw_s)
\]
設原訊號的傅立葉變換是\(x(w)\);現在，再根據傅立葉變換的性質，可以得出:
\[x_s(t) = x(t)S(t) \\
\mathcal{F}[x_s(t)] = \mathcal{F}[x(t)]*\mathcal{F}[S(t)] =\\
K\mathcal{F}[x(t)] * \sum\delta(w-w_s) = K\sum x(w-nw_s)
\]
上式中，K表示縮放係數。
這個結果表明了，時域的取樣等於頻域的週期化。這裡有兩個重要的結論：
- 對於非帶限訊號，其頻域週期化後一定存在混疊，故而不可能恢復
- 對於帶限訊號，要避免混疊， 必須要滿足\(-w_c + w_s > w_c\) 即 \(w_s>2w_c\)，取樣頻率必須是訊號頻寬的2倍