原理
用到格基規約和LLL演算法。。。
啊？你問那是什麼？去搜吧，反正我沒看懂。
實現
有一個 e 階的多項式 f, 那麼可以：
- 在模 n 意義下，快速求出
以內的根
- 給定 β，快速求出模某個 b 意義下較小的根，其中
b≥，是 n 的因數。
一般採用sage下的small_roots(X=2^kbits,beta=β)。
應用
coppersmith定理應用最多的是高位攻擊一類，透過該定理求得剩餘二進位制位。
限制性：coppersmith定理能求得的位數有限。
一般來說，n=p*q，設p，q均是1024位的大素數，則n的大小為2047bits或2048bits，而就是大概1024bits的數，與p，q接近，但是不一定滿足
p，q≥，所以β一般取0.4，根據大佬們的證明得出，在上述條件下，只要未知二進位制位數小於492均可應用coppersmith定理求解。
滿足上述要求的情況下，所需要的small_roots()函式中的引數X代表所需求解根的上限，即假設未知的位數是kbits，引數X匯入的值就是2^kbits。
例題 [BaseCTF 2024]銅匠
附件
from Crypto.Util.number import getPrime, bytes_to_long
#from secret import flag
flag=b'XXXX'
p = getPrime(1024)
q = getPrime(1024)
n = p * q
e = 65537
hint1 = p >> 721
hint2 = q % (2 ** 266)
ct = pow(bytes_to_long(flag), e, n)
print(hint1)
print(hint2)
print(n)
print(ct)
'''
hint1 = 14439249591349619691972392177790365247490839237199085979433418493254022567815148979672690178
hint2 = 90063199151369157959005663017593053931871580139169245885113098598755909124764417
n = 18347545778876678838092757800261556931131930866012101566000425608407193858675622059415995283684230959320874387944052648148677918542763633503231962873204645415818139345588988936580526094727943067102768943117592654029397879665312089518191052154267343886226820785206334238961064175118262578895847281575656290248049404047727756356910896332939145136942219317065063060070725033146788186604738271846183709127655298440696824683099637827282095133642324657860714680107691622056420045091586609974536644773286992447027164350612852922016376888380895187804771279035652496676089183636450028327097084911908336202253562671798012457461
ct = 15659576879410368237140555530527974801613150473447768911067611094143466009251385693099110691602954207905029692682380253595062935017486879899242785756448973466690818942065250284891341066578689696180061755610538867770441139827574063212967027249650509215685566103350688284041405586915563454117672061141919712416360596137520514412607512596079964611672166435592936417138352662031529414118312166411150736015788925026636845744110093161894267707446937939130745326244186579516665160036229715964182962542836836457885170975474737620430886449029488829662146456489724775166105816909257516908496172172266375617868819982791477888289
'''
思路
給了p的高位和q的低位，用逆元算出p的低位，得出p一共已知的位數，中間未知的455位考慮用coppersmith解，如果直接解解不出來，可以嘗試抬高位數進行爆破，最後找到flag。幸運的是，這道題可以直接解出來。
exp
#sage
hint1 = 14439249591349619691972392177790365247490839237199085979433418493254022567815148979672690178
hint2 = 90063199151369157959005663017593053931871580139169245885113098598755909124764417
n = 18347545778876678838092757800261556931131930866012101566000425608407193858675622059415995283684230959320874387944052648148677918542763633503231962873204645415818139345588988936580526094727943067102768943117592654029397879665312089518191052154267343886226820785206334238961064175118262578895847281575656290248049404047727756356910896332939145136942219317065063060070725033146788186604738271846183709127655298440696824683099637827282095133642324657860714680107691622056420045091586609974536644773286992447027164350612852922016376888380895187804771279035652496676089183636450028327097084911908336202253562671798012457461
ct = 15659576879410368237140555530527974801613150473447768911067611094143466009251385693099110691602954207905029692682380253595062935017486879899242785756448973466690818942065250284891341066578689696180061755610538867770441139827574063212967027249650509215685566103350688284041405586915563454117672061141919712416360596137520514412607512596079964611672166435592936417138352662031529414118312166411150736015788925026636845744110093161894267707446937939130745326244186579516665160036229715964182962542836836457885170975474737620430886449029488829662146456489724775166105816909257516908496172172266375617868819982791477888289
e = 65537
p_high = hint1<<721
q_low = hint2
mod = 1<<266
p_low = n*inverse_mod(q_low,mod) % mod
PR.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
f = p_high + x*mod + p_low
pp = f.monic().small_roots(X=2^455,beta=0.4)
if pp:
p=(pp[0]*mod)+p_high+p_low
from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *
q = n//p
phi = (p-1)*(q-1)
d = inverse(e, phi)
m = long_to_bytes(pow(ct, d, n))
print(m)