什麼是介值定理？
介值定理（Intermediate Value Theorem，簡稱IVT）是微積分中的一個基本定理。簡單來說，介值定理告訴我們，如果一個函式在一個區間上是連續的，那麼這個函式會“覆蓋”該區間內所有介於其端點函式值之間的值。
定理的正式表述：
如果函式 $ f $ 在閉區間 \([a, b]\) 上連續，且 $ N $ 是介於 $ f(a) $ 和 $ f(b) $ 之間的任意數（即 $ f(a) \leq N \leq f(b) $ 或 $ f(b) \leq N \leq f(a) $），那麼至少存在一個 $ c $ 在 \([a, b]\) 內，使得 $ f(c) = N $。
為什麼叫“介值定理”？
“介”在這裡指的是“中間”或“中介”的意思。介值定理的名稱反映了它的核心思想：在連續的過程中，函式值會“經過”所有介於兩個端點之間的值。換句話說，函式不會跳躍地跳過這些中間值。
例子解析
考慮函式 $ f(x) = x^2 $ 在區間 \([-1, 2]\) 上。
$ f(-1) = 1 $ ，$ f(2) = 4 $
根據介值定理，對於1到4之間的任何值 $ y $，都存在一個 $ x $ 在 \([-1, 2]\) 之間，使得 $ f(x) = y $。
例如，我們一定能找到一個 $ x $ 使得 $ f(x) = 3 $。
這裡的關鍵點在於函式在區間 \([-1, 2]\) 上是連續的。確實，對於1到4之間的每一個 $ y $ ，存在一個 $ x $ 使得 $ f(x) = y $ 。但注意，這裡的“1到4”是閉區間 \([1, 4]\)，不包括0。
我這裡之前的疑問是：
當 $ x = 0 $ 的時候，$ f(x) = 0 $ ，呀，這個1與4之間任何值說的包含了0了嗎？
實際上，介值定理在這個例子中並不涉及 $ y = 0 $ ，因為0不在1到4之間。介值定理只保證在1到4之間的值會被覆蓋，而不涉及區間之外的值。因此，$ f(x) = 0 $ 在這個例子中是可能的，但它不受介值定理的限制。
經典易懂的例子
讓我們透過幾個經典的例子來更好地理解介值定理。
例子1：線性函式
考慮函式 $ f(x) = 2x + 1 $ 在區間 \([0, 3]\) 上。
- $ f(0) = 1 $
- $ f(3) = 7 $
因為 $ f(x) $ 是連續的，對於任何 $ y $ 在1到7之間（包括1和7），都存在一個 $ x $ 在 \([0, 3]\) 內，使得 $ f(x) = y $。
比如，若 $ y = 5 $，解方程 $ 2x + 1 = 5 $ 得 $ x = 2 $，確實在區間內。
例子2：三次函式
考慮函式 $ f(x) = x^3 - x $ 在區間 \([-2, 2]\) 上。
- $ f(-2) = -8 - (-2) = -6 $
- $ f(2) = 8 - 2 = 6 $
這個函式在 \([-2, 2]\) 上是連續的。因此，介值定理保證對於任何 $ y $ 在 \(-6\) 到 $ 6 $ 之間，存在一個 $ x $ 在 \([-2, 2]\) 內，使得 $ f(x) = y $。
例子3：溫度變化
假設一個地區的溫度在一天內從早上8點的 $ 10^\circ C $ 上升到中午12點的 $ 20^\circ C $，並且溫度變化是連續的。那麼，根據介值定理，這意味著在這段時間內，溫度會經過所有介於 $ 10^\circ C $ 到 $ 20^\circ C $ 之間的值。比如，一定會有某個時刻溫度恰好是 $ 15^\circ C $。
直觀理解
想象你在走一條平滑的山路，從山腳（點A）到山頂（點B）。如果這條路是連續的（沒有斷層或跳躍），那麼你在行走過程中會經過山腳到山頂之間的所有高度。這就是介值定理的直觀解釋：在連續的過程中，函式值會覆蓋起點和終點之間的所有值。
常見誤區
-
連續性的重要性：如果函式在區間上不連續，介值定理可能不適用。例如，考慮函式 $ f(x) $ 在 \([0, 1]\) 上定義為：
\[f(x) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } x < 0.5 \\ 3 & \text{如果 } x \geq 0.5 \end{cases} \]這個函式在 $ x = 0.5 $ 處有跳躍，因此對於 $ y = 2 $，沒有 $ x $ 滿足 $ f(x) = 2 $，即使2介於1和3之間。
-
端點順序：介值定理適用於 $ f(a) $ 小於或大於 $ f(b) $ 的情況，不管哪個更大。例如，如果 $ f(a) > f(b) $，只要 $ y $ 在 $ f(b) $ 到 $ f(a) $ 之間，同樣成立。
推論
介值定理有幾個重要的推論和應用：
-
根的存在：如果函式 $ f $ 在 \([a, b]\) 上連續，且 $ f(a) $ 和 $ f(b) $ 有相反的符號（即 $ f(a) \cdot f(b) < 0 $），那麼存在至少一個 $ c $ 在 \((a, b)\) 內，使得 $ f(c) = 0 $。這實際上是介值定理的一個特例，用於證明方程有根。
例子：
考慮 $ f(x) = x^3 - x $ 在區間 \([-1, 1]\) 上。- $ f(-1) = -1 - (-1) = 0 $
- $ f(1) = 1 - 1 = 0 $
由於 $ f(-1) $ 和 $ f(1) $ 都等於0，我們可以進一步分析，但在這個例子中，介值定理本身不直接提供額外資訊。讓我們換一個例子：
考慮 $ f(x) = x^3 - x $ 在區間 \([0, 2]\) 上。
- $ f(0) = 0 $
- $ f(2) = 8 - 2 = 6 $
這裡 $ f(0) = 0 $ 已經滿足 $ f(c) = 0 $，所以我們知道至少存在一個根。
-
函式的連續性：介值定理也可以用來證明某些函式在特定區間上的連續性，或者在連續性條件下函式的行為。
總結
介值定理是一個強大且直觀的工具，用於理解連續函式在區間內的行為。它告訴我們，連續函式不會“跳過”任何介於其端點值之間的數值。