完美匹配：在二分圖中所有點都匹配上了。
Hall定理：設\(M(u)\)表示與\(u\)相連的點集，一個二分圖中存在完美匹配當且僅當\(\forall S\in V\),滿足\(|S|\le M(S)\)，其中S是二分圖左部點或者右部點的一個任意子集。
充分性：
證明：當\(|V|=1\)時，顯然成立。設當\(|V|=n\)成立。
只需證明\(|V|=n+1\)時成立，取出任意一個子集\(|S|<n+1\)，若\(M(S)>|S|\)任意做一個匹配。則剩下的點仍然滿足條件。
對於剩下的\(n\)個點自然也滿足條件，由歸納可知成立。
若\(M(S)==|S|\)這\(|S|\)個點會構成\(|S|\)個匹配。則剩下的點滿足條件，由歸納知成立。
必要性：一個完美匹配圖中選出\(|S|\)個點自然存在\(M(S)>=|S|\)。
霍爾定理加強1：
最多有\(k\)個點匹配不上的充分必要條件是\(\forall S\in V\),滿足\(|S|-k\le M(S)\)
霍爾定理加強2：
一個點若匹配\(k\)個點則存在完美匹配的充分必要條件為\(\forall S\in V\),滿足\(|S|\cdot k\le M(S)\)。
霍爾定理加強3：若對於第\(i\)個點能匹配\(k_i\)個點則存在完美匹配的充分必要條件為\(\forall S\in V\),滿足\(\sum_{w}k_w\le M(S)\)。
例題1