更新日誌
2024/12/05：開工。2024/12/06：完工。
公式
對於一個質數 \(p\)，其必然滿足：
\[\LARGE (p-1)!\equiv-1\pmod p
\]
那個\(!\)是階乘不是\(\not\equiv\)
證明
首先同餘式兩邊同時除以 \(-1\)（必與 \(p\) 互質），得到：
\[(p-2)!\equiv 1\pmod p
\]
注：左側去掉了 \(p-1\)
不難發現這是一個標準的同餘式，形如 \(ax\equiv 1\)，將 \(x\) 記作 \(a\) 逆元。
那麼觀察上式，首先我們可以去掉左側的 \(1\)，那麼就剩下 \([2,p-2]\) 相乘。（若 \(p=2\)，額外考慮，必然滿足 \(1!\equiv -1\pmod 2\)，成立）
考慮 \([1,p-1]\) 中兩個數互為逆元的情況，發現除了 \(1,p-1\) 可以 \(x^2\equiv1\pmod p\) 以外，其他每一個數在區間內都有唯一的、非自身的一個數與其互為逆元。
也就是說，\([2,p-2]\) 這個區間內的數可以兩兩匹配，每一對的乘積都是 \(1\)。
故而 \((p-2)!\equiv1\pmod p\) 得證，故 \((p-1)!\equiv-1\pmod p\)
證畢。