鞅與停時定理
鞅
鞅過程是一個隨機過程，稱 \(\{X_0,X_1,...\}\) 過程為鞅，當該過程滿足下列條件
\(\text{E}(|X_n|) < \infty\)
\(\text{E}(X_{n + 1}|X_n,...,X_0) = X_n\)
即 \(\forall x_0,x_1,...,x_n,\text{E}(X_{n + 1} | X_n = x_n,...,X_0 = x_0) = X_n\)
進一步的擴充套件的鞅過程
一個隨機過程 \(\{Y_0,Y_1,...\}\) 關於 \(\{X_0,X_1,....\}\) 為鞅，即：
\(\text{E}(Y_{n + 1} | X_n,...,X_0) = Y_n\)。
例題
下考慮簡單的隨機過程 \(Y_n = \sum X_i\) 考慮 \(P(X_i = 1) = p,P(X_i = -1) = 1-p = q\)，下證當 \(p = q = \frac{1}{2}\) 時 \(Y\) 為關於 \(X\)的鞅：
實際證明一般從 \(\text{E}(Y_{n + 1} - Y_n)\) 入手。
考慮 \(\text{E}(Y_{n + 1} - Y_n) = \text{E}(X_{n + 1}) = 0\) 。
可以進而一步證明 \(Z_n = Y_n^2 - n\) 是關於 \(X_i\) 的鞅過程。
\(\text{E}(Z_{n + 1} - Z_{n}) = \text{E}(\frac{1}{2}[(Y_n + 1) ^ 2 + (Y_n - 1)^2] - Y_n^2 - 1) = 0\)。
當 $p \neq q $ 時，下證 \(W_n = \frac{q}{p}^{Y_n},W = \{W_n,n\geq 0 \}\) 為 \({Y_n,n\geq 0}\) 的鞅過程 。
\(\text{E}(W_{n + 1} | Y_0,...Y_n) = W_n \text{E}(p \times \frac{q}{p} + q \times \frac{p}{q}) = W_n\)。
停時定理
定義隨機時刻：設取值為非負整數的隨機變數 \(T\) ，及隨機過程 \(\{X_n,n\geq 0\}\)，若 \(I_{\{T = n\}}\) 僅為 \(X_0,...X_n\) 的函式，則 \(T\) 為 \(\{X_n,n \geq 0\}\) 的隨機時刻。
定義停時，取 \(T\) 為 \(\{X_n,n \geq 0\}\) 的一個時刻，其停止過程過程 \(\overline{X_i}\)
\(\overline{X_i} = X_i (i \leq T)\)
\(\overline{X_i} = X_T (i > T)\)
設 \(X = {X_n,n \geq 0}\) 為離散時間鞅， \(\text{E}(X_i),\overline{X_i},T\) 均有界，則
\(\text{E}(X_t) = \text{E}(X_0)\)
在實際應用中，我們考慮隨機事件序列 \(\{A_0,A_1,A_2,...\}\)，隨機變數 \(T\) 為其停時，我們期望求 \(\text{E}(T)\)，但直接求比較困難，我們考慮構造勢函式 \(\phi(A)\)，滿足如下條件：
\(\text{E}(\phi(A_{t + 1} - \phi(A_t)) | A_t,...A_0) = -1\)
\(\phi(A_T)\) 為常數
令 \(X_t = \phi(A_t) + t\)
則知 \({X_n,n\geq 0}\) 為一個鞍過程
所以 \(\text{E}(T) = \phi(A_0) - \phi(A_T)\)
部分例題
CF1951G
給定一個長為 \(m\) 的環，環上有若干球，球位置互不相同，每次 \(\frac{1}{n}\) 的機率選中一個位置，將其上面的球順時針向下一一位，若下一個位置有球，則兩個位置的球合併，求 \(n\) 個球合併在一個位置的期望次數
考慮設計勢能函式。
容易想到該問題等價於有 \(a_1,a_2,...,a_k\) 序列，每次有 \(\frac{1}{n}\) 的機率將 \(a_i\) 減一,\(a_{i+1}\) 加一併將等於 0 的元素刪除。
考慮設計 \(\phi(a_1,...,a_k) = \sum_{1}^{k}f(a_i)\)
則 \(\phi_{t} - \phi_{t + 1} = \frac{1}{n}\sum_{1}^k f(a_i) - f(a_i - 1) + f(a_{i + 1}) - f(a_{i + 1} + 1) = 1\)，這裡我們強制令 \(f(0) = 0\)，保證重疊元素不貢獻。
看起來是差分的形式，我們考慮把差分寫完，令 \(d_x = f(x + 1) - f(x)\)
\(\phi_t - \phi_{t + 1} = \frac{1}{n} \sum d(a_i) - d(a_{i + 1} + 1) = 1 \to \sum d(a_i) - \sum d(a_i + 1) = n\)
此時這個地方，看起來只能構造一個 \(d(x)\) 滿足這個要求，知道 \(\sum a_i = m\)
我們容易構造一個 \(d(x - 1) - d(x) = -\frac{n}{m}x\) 來滿足條件，即 \(d(x) = -\frac{n}{2m}(x^2 + x)\)
故由於 \(f(0) = 0\)，我們對 \(d(x)\) 逐級求和，\(f(x) = -\frac{n}{m}\binom{x + 1}{3}\)
故 \(\text{E}(T) = \phi(a_1,.....a_n) - \phi(a_1 = m)\)